Операторы

[SpBTimes]

Добрый день. Что-то не могу сообразить, может ли быть такое, что самосопряженный ограниченный оператор задан не на всем пространстве?

[ewert]

Не может: он замкнут и обязательно задан на плотном множестве (иначе для него попросту не определён сопряжённый оператор).

[SpBTimes]

ewert
То есть дальше он просто определяется по непрерывности, да?

[Oleg Zubelevich]

как и любой ограниченный оператор с плотной областью определения

[ewert]

Немножко не так (т.е. не те слова). Ограниченный оператор замкнут тогда и только тогда, когда его область определения есть подпространство.

[Oleg Zubelevich]

Ну да опять эта гильбертова специфика, самосопряженный оператор замкнут и раз он ограничен, то значит уже определен на всем пространстве. Его и продолжать не надо

[SpBTimes]

ewert
А можете показать выкладку? Я не могу собрать все в кучу

[ewert]

Да там не выкладка, там просто набор определений.

1. Оператор называется самосопряжённым, если он совпадает со своим сопряжённым.

2. Понятие сопряжённого оператора имеет смысл только в том случае, если исходный оператор плотно определён.

3. Для ограниченного оператора его замкнутость равносильна замкнутости (т.е. подпространственности) его области определения.

4. Сопряженный оператор всегда замкнут.

По совокупности и получаем.

Тут вон Oleg Zubelevich говорил,что это "гильбертова специфика"; но я не уверен, что она именно гильбертова. Т.е. не знаю, провалится ли какой из этих пунктов в лишь банаховом случае, думать же (или вспоминать) лень.

-- Вт окт 15, 2013 23:04:56 --

(ну кроме банальной необходимости гильбертовости для первого пункта)

[SpBTimes]

ewert
А, дошло, спасибо!