Сходимость ряда

[kerz-3-06]

$\sum\frac{\sin n^3}{n\ln^2 n}$ Надо иследовать на сходимость.

Добавлено спустя 7 минут 50 секунд:

По идее мы можем иследовать на абсолютную сходимость. В этом случае модуль Sin можно просто убрать. Только вот, как доказать в таком случае, что ряд \sum\frac1{n\ln^2n} сходится ?!

[Brukvalub]

kerz-3-06 писал(а):

По идее мы можем иследовать на абсолютную сходимость. В этом случае модуль Sin можно просто убрать. Только вот, как доказать в таком случае, что ряд 1/(n * ln^2n) сходится ?!

Правильная мысль. А теперь интегральный признак сходимости Вам в помощь.

[kerz-3-06]

Ок, спасибо! А без Признака Коши тут обойтись как-нибудь возможно?!

[Brukvalub]

kerz-3-06 писал(а):

А без Признака Коши тут обойтись как-нибудь возможно?!

Вряд ли.

[kerz-3-06]

Ладно.. Тогда можно удостовериться еще раз в правильности решения:

Исследуем на абс. сходимость. Модуль синуса отбрасываем, потому что он только уменьшает слагаемые.
Собственно дальше берем интеграл от
$1/ n\ln^2n$, получаем $-1/ \ln n$ в подстановке от 1 до беск, что равно $1/ \ln 1$? И следуя из этого, говорим что ряд сх-ся абсолютно, а значит сходится.
Так?!

[Brukvalub]

kerz-3-06 писал(а):

Собственно дальше берем интеграл от
$1/ n\ln^2n$, получаем $-1/ \ln n$ в подстановке от 1 до беск, что равно $1/ \ln 1$? И следуя из этого, говорим что ряд сх-ся абсолютно, а значит сходится.
Так?!

Верно, да не совсем. Следует рассматривать

\[ \int_2^\infty {\frac{{dx}}{{x\ln ^2 x}}} \]

, тогда все получится. А пока Вы получили абсурдное выражение

\[\frac{1}{{\ln 1}} = \frac{1}{0}\]

[kerz-3-06]

Да, точно. Спасибо