Связь между k[x], k[[x]], k(x) и k((x))

[Lyssa]

Пусть $k$ — некоторое произвольное поле, $k[x]$ кольцо полиномов над $k$, $k[[x]] кольцо формально-степенных рядов, $k(x)$ поле дробно-рациональных функций, а $k((x))$ поле рядов Лорана (поле частных для $k[[x]]).

Довольно очевидны следующие соотношения:
$k[x] \subset k(x) \subset k((x))$
$k[x] \subset k[[x]] \subset k((x))$

В то время как строго сформулировать и доказать соотношения между $k[[x]] и $k(x)$ у меня не получается. Интуитивно кажется, что для того, чтобы обратимый формально-степенной ряд (например, $e^x$) был также и дробно-рациональной функцией, необходимо и достаточно, чтобы обратным к нему элементом был полином, но доказать это не получается. Верно ли это?

[Xaositect]

Возможно, Вам подойдет что-то типа этого: в $k(x)$ можно выделить подкольцо функций, не имеющих полюсов в нуле, и оно может быть вложено в $k[[x]]$ (ряды Тейлора).

Lyssa в сообщении #775109 писал(а):

Интуитивно кажется, что для того, чтобы обратимый формально-степенной ряд (например, $e^x$) был также и дробно-рациональной функцией, необходимо и достаточно, чтобы обратным к нему элементом был полином, но доказать это не получается. Верно ли это?

Нет, очевидно существуют дробно-рациональные функции, не имеющие вид $\frac{1}{p(x)}$, но имеющие ряды Тейлора.