Ускорение при движении по окружности.

[Pineapple]

Цитата:

При движении по окружности с постоянной по модулю скоростью, направление вектора скорости постоянно изменяется - это значит, что данное движение с ускорением.

Объясните почему так.

[arseniiv]

Вектор задаётся ведь не только длиной, но и направлением. Потому раз направление скорости меняется — и скорость меняется. А ускорение — это производная скорости, и раз уж она меняется, оно ненулевое.

[Pineapple]

arseniiv в сообщении #774601 писал(а):

Вектор задаётся ведь не только длиной, но и направлением. Потому раз направление скорости меняется — и скорость меняется. А ускорение — это производная скорости, и раз уж она меняется, оно ненулевое.

Ускорение при таком движении тоже непостоянное и в каждый момент времени будет разным?

[arseniiv]

Да. И при движении по окружности, и вообще при любом непрямолинейном движении с постоянной по модулю скоростью.

Модуль ускорения может оставаться неизменным — это как раз при равномерном движении по окружности (ну и по прямой).

[Pineapple]

А формула $\frac {v^2}{R}$ используется именно для нахождения модуля центростремительного ускорения?

[arseniiv]

Ага. Можно написать формулу, дающую вектор: если $\vec r$ — вектор, перпендикулярный оси вращения и соединяющий её с вращающимся телом (длина этого вектора — как раз радиус получается), тогда $\vec a = -\frac{v^2}{r^2} \vec r$. Если взять модуль, получится приведённая вами формула. Минус тут как раз показывает, что $\vec a \mathrel{\uparrow\downarrow} \vec r$. Если выбрать $\vec r$ по другому, минус, конечно, не понадобится, но обычно такие векторы направляются не в центр, а из (и если центр вращения поместить в начало координат, получится радиус-вектор).

[Pineapple]

И все же не совсем понимаю. Например ускорение при прямолинейном равноускоренном движении равно 4 м/с ^2 Это значит, что скорость каждую секунду увеличивается на 4 м/с. А вот при равномерном движении по окружности центростримительное ускорение 4 м/с ^2 что будет означать?

[arseniiv]

При равномерном движении по окружности прозрачнее о поведении вектора скорости скажет циклическая частота $\omega$ — она покажет, на какой угол $\varphi = \omega t$ повернулся вектор скорости (и движущееся тело). Выразить это через центростремительное ускорение вы сможете.

[Munin]

Pineapple в сообщении #774704 писал(а):

А вот при равномерном движении по окружности центростримительное ускорение 4 м/с ^2 что будет означать?

Что каждую миллисекунду скорость меняется на 4 миллиметра в секунду. Но это изменение - векторное, и направлено не вдоль вектора скорости, а поперёк. То есть, длина вектора скорости не меняется. Старое и новое значение вектора скорости, и вектор изменения скорости, образуют треугольник, и третья сторона этого треугольника - как раз 4 миллиметра в секунду.

За много миллисекунд, эти изменения складываются. Но поскольку направление ускорения меняется постоянно, то и получается в результате не треугольник, а криволинейный треугольник, "с кривым дном". В случае движения по окружности - "кривое дно" будет дугой окружности, а сам треугольник - сектором круга. То есть, при равномерном движении по окружности, вектор скорости тоже описывает окружность. А величина ускорения - это скорость движения по вот этой новой окружности, нарисованной в пространстве скоростей. Вообще при криволинейном движении, линии в обычном пространстве и в пространстве скоростей разные, нельзя их путать. Только в данном случае совпадают их формы.

[Pineapple]

Цитата:

Вообще при криволинейном движении, линии в обычном пространстве и в пространстве скоростей разные

Что понимается под пространством скоростей и линий?

[Munin]

Нет никакого пространства линий. Есть два пространства: пространство обычное, и пространство скоростей (есть и ещё другие, но я их не упоминал). Линия может быть проведена и в первом пространстве, и во втором пространстве. Надеюсь, теперь мою фразу можно понять.

Пространство скоростей - это векторное пространство. В нём есть отмеченная точка $\vec{0}$ (как начало координат). В нём можно взять векторы, выходящие из этой точки в любую другую точку - и эти векторы будут векторами скорости. Очень многие физические факты можно представить себе наглядно, если представлять себе пространство скоростей.

Например, если две одинаковые частицы сталкиваются, а потом разлетаются, то в пространстве скоростей их скорости образуют два треугольника (или параллелограмма) - сумма векторов скоростей до столкновения, и сумма векторов скоростей после столкновения. Эти суммы между собою равны, откуда видны геометрические ограничения на то, какими могут быть скорости после столкновения. Можно написать эти ограничения и в виде формул, но так они будут гораздо менее наглядны и интуитивно понятны.

Ещё например. Возьмём газ. В нём молекулы движутся беспорядочно, но по определённым законам. В обычном пространстве молекулы распределены приблизительно однородно. А в пространстве скоростей - нет. Они образуют круглое плотное пятно вокруг начальной точки $\vec{0}$ с нечёткими границами, постепенно исчезающее к краям. Это пятно называется распределение Максвелла по скоростям. При изменении температуры это пятно расширяется, и становится менее плотным, но сохраняет форму.

[Pineapple]

Вообщем я правильно понял, что центростремительное ускорение показывает насколько изменяется разность вектора скорости в начальный момент времени и вектора скорости в какое-нибудь заданное время?

[Munin]

Не совсем. Дело в том, что движение по окружности - не равноускоренное. (Можно взять движение по параболе, оно бывает равноускоренное.)

Так что, центростремительное ускорение показывает, насколько отличается вектор скорости в начальный момент времени и вектор скорости в какое-нибудь заданное время, для достаточно коротких промежутков времени.

А если вы нечаянно возьмёте промежуток времени, равный целому периоду (или целому числу периодов), то разность векторов скорости у вас вообще будет нуль :-) Скорость совершит полный круг. Аналогично, если вы возьмёте время, составляющее существенную часть периода, то у вас разность векторов скорости будет иметь величину $\lvert\Delta\vec{v}\rvert=2v\sin(at/2v)\ne at.$

[ewert]

Munin в сообщении #774853 писал(а):

(Можно взять движение по параболе, оно бывает равноускоренное.)

(Только оно бывает)

[Munin]

ewert в сообщении #774911 писал(а):

(Только оно бывает)

Вообще говоря, верно. Но школьник пока ещё думает, что есть случай равноускоренного движения по прямой. Чтобы сообразить, что это тоже частный случай параболы, ему придётся лишний раз подумать, а я старался писать легкочитаемый текст.

И слово "бывает" я вставил с другой целью: чтобы напомнить, что не всякое движение по параболе - равноускоренное. Можно по параболе ехать как по рельсам, и дёргаться вперёд-назад - ускорение, очевидно, будет не постоянное.