Объем тела

[Limit79]

Здравствуйте, уважаемые форумчане!

Есть такая задачка: найти объем тела $T$, ограниченного поверхностями: $z=4-x^2-y^2, 9z=-5 \cdot (x^2+y^2), y=0 ( y \leqslant 0)$

Мои мысли таковы:

Тело $T$ ограничено параболоидами: $z=4-x^2-y^2, z= - \frac{5}{9} \cdot (x^2+y^2)$ и плоскостью $y=0$ при $y \leqslant 0$.

Рисунок получился вот такой:

(Оффтоп)

Верен ли он?

Перейдем к цилиндрическим координатам: $z=4-r^2, z=- \frac{5}{9} \cdot r^2$

Тогда:

$$V = \iiint\limits_{T} r dr d \varphi dz = \iint\limits_{D} r dr d \varphi \int\limits_{- \frac{5}{9} \cdot r^2}^{4-r^2} dz = \iint\limits_{D} (4r- \frac{4}{9} r^3) dr d \varphi$$

Найдем проекцию тела $T$ на плоскость $xOy$ - область $D$:

$$\left\{\begin{matrix} z=4-x^2-y^2\\ 9z=-5 \cdot (x^2+y^2) \end{matrix}\right. \Rightarrow 4-z = - \frac{9}{5} z \Rightarrow z =-5$$

Данные параболоиды пересекаются в плоскости $z=-5$ по окружности $x^2+y^2=9$. Следовательно, область $D$ это половина круга $x^2+y^2 \leqslant 9$ $(y \leqslant 0)$, в полярных координатах:

$$0 \leqslant r \leqslant 3, \pi \leqslant \varphi \leqslant 2 \pi$$

Область D:

(Оффтоп)

Тогда, искомый объем:

$$V = \int\limits_{\pi}^{2 \pi} d \varphi \int\limits_{0}^{3} (4r- \frac{4}{9} r^3) dr = ... = 9 \pi $$

Если кому не сложно - посмотрите, пожалуйста, мое решение. Может где допустил неточности/ошибки? Заранее спасибо за помощь!

[forexx]

Картинка такая. Нужно взять левую половину - игрек-то меньше или равен нулю.
Решение найдено верно.

[Limit79]

forexx
Так у меня на рисунке же как раз та половина, при которой $y \leqslant 0$.

[forexx]

Limit79 в сообщении #774670 писал(а):

forexx
Так у меня на рисунке же как раз та половина, при которой $y \leqslant 0$.

Обычно ось OY направляют вправо, т.е. правая система координат. Вы изобразили в левой системе координат.

[Limit79]

forexx
Но от этого же суть не меняется? Я изобразил таким образом для того, чтобы фигура была повернута к "нам".