Скорость света

[Sicker]

Как из уравнений Максвелла вычислили скорость распространения электромагнитного излучения?
Там же поле присутствует в каждой точке пространства и изменение электрического поля порождает изменение магнитного мгновенно, и наоборот
откуда пространственной скорости распространения взяться?

[arseniiv]

Sicker в сообщении #774547 писал(а):

и изменение электрического поля порождает изменение магнитного мгновенно, и наоборот

В одной и той же точке. О связи величин электромагнитного поля в далёких точках уравнения прямо не говорят.

[Sicker]

а не покажите, как они говорят об этом косвенно?

[arseniiv]

Если решение уравнений (без зарядов и токов) описывает распространение волн, их скорость получится равной константе. По идее, это должно как-то доказываться для всех решений сразу, но я не знаю. Подождите физиков.

[Munin]

Всё дело в том, что кроме производной по времени ("изменение поля"), в уравнениях Максвелла присутствует и производная по пространственой координате (в виде дивергенций и роторов).

Давайте рассмотрим более простой пример: одномерное волновое уравнение первого порядка (уравнения Максвелла могут быть сведены к такому уравнению в частном случае)

$$\dfrac{\partial u}{\partial t}-a\dfrac{\partial u}{\partial x}=0$$

Для начала, пустим по такому уравнению волну (уравнение первой степени, поэтому волна может идти только в положительном направлении по $x$)

$$u=U\cos(\omega t-kx+\varphi_0)$$

Проверяем, что это решение данного уравнения:

$$\dfrac{\partial}{\partial t}\bigl(U\cos(\omega t-kx+\varphi_0)\bigr)-a\dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(U\cos(\omega t-kx+\varphi_0)\bigr)=$$

$$=-\omega U\sin(\omega t-kx+\varphi_0)+akU\sin(\omega t-kx+\varphi_0)=0$$

$$\text{при условии \(\omega=ak\)}$$

Эта волна синусоидальная, и в ней колебания происходят в каждой точке с циклической частотой $\omega,$ а пространственно она имеет волновое число $k$ (длину волны $2\pi/k$). Эти параметры оказались между собою связаны: любая другая волна, для которой не будет выполняться $\omega=ak,$ не будет решением этого волнового уравнения, и не сможет распространяться в соответствующих физических условиях. Чтобы найти скорость волны, заметим, что волна принимает одинаковые значения в точках $(x,t)$ и $(x+\Delta x,t+\Delta t),$ в том случае, когда $\omega\,\Delta t-k\,\Delta x=0.$ Сравнивая это условие с движением точки $\Delta x=v\,\Delta t,$ находим, что форма волны "движется" как целое со скоростью $v=\omega/k=a.$ Оказывается, скорость волны заложена в уравнение - в виде коэффициента, с которым входят производные по времени и по пространственной координате.

Примечание: в случае уравнения второго порядка, коэффициент может быть связан со скоростью иначе, $v^2=a.$ Пока я только продемонстрировал принцип.

[arseniiv]

(2 Munin.)

Munin в сообщении #774657 писал(а):

одномерное волновое уравнение первого порядка (уравнения Максвелла могут быть сведены к такому уравнению в частном случае)

Во, в частности, этого мне не хватало в ответе.

А как показывается, что у любого решения-волны скорость будет одна и та же?

[Sicker]

Munin, а не подскажете как уравнения масвелла можно свести к этому волновому уравнению?
И зачем нужно волновое уравнение второго порядка(со вторыми производными) когда есть первого?

[Munin]

Теперь стоит вопрос более сложный: как доказать, что любые возмущения могут распространяться не быстрее скорости $v=a$? Для этого, ставят начальную задачу: считают, что в момент времени $t=0$ состояние задано (заданы все нужные функции, и если надо, их производные), и надо рассчитать, что будет происходить в моменты времени $t>0.$ Нам нужна начальная задача такого вида: в некотором месте, скажем, в области $x\leqslant 0,$ начальное состояния может быть ненулевым, каким угодно, а в области $x>0$ - везде нулевым. И мы задаём вопрос, за какое время граница ненулевого состояния расширится в нулевую область - это и будет скорость распространения возмущения.

Этот анализ, вообще говоря, сложный (я не справлюсь изложить его строго математически), и для каждого уравнения будет свой результат. Например, для волнового уравнения, которое я записал, будет всегда скорость распространения возмущения $a.$ Для уравнений Максвелла - тоже (там принято эту скорость обозначать $c$). Но, например, для волнового уравнения Шрёдингера верхнего предела скорости не существует - она может быть любой до бесконечности. И для уравнения распространения тепла. (Физически, оказывается, что эти уравнения - только приближения более сложных уравнений, и на самом деле, быстрее скорости света ничего распространяться не может.) Есть и уравнения, в которых скорости могут быть разные, и очень малые: уравнение Клейна-Гордона, уравнения волн на воде, и другие.

Чтобы понять "на пальцах" физическую суть такого анализа, используем такой приём. Наше начальное состояние (которое нулевое в одной области, и ненулевое в другой) можно разложить на синусоидальные волны. Каждая такая синусоида будет заполнять всё пространство, а не только нужную нам область. Конечно, этих волн придётся взять бесконечное количество, и нуль там получится только в пределе суммы. Но теперь можно разбираться с этими синусоидами по отдельности (потому что они проходят через друг друга, не влияя друг на друга). У каждой из этих волн будут свои $\omega_1,\omega_2,\ldots,k_1,k_2,\ldots$ И вот оказывается, что если какие-то отдельные составляющие умеют "бежать" быстрее других, то именно они будут определять предельную скорость распространения возмущений. Иногда оказывается, что предел бесконечный (например, если брать всё более и более короткие волны, то они будут бежать всё быстрее и быстрее - или наоборот, длинные, это зависит от знака дисперсии). Но в данном случае все волны любой частоты движутся с одной и той же скоростью $a.$ А значит, вариантов нет: только с такой скоростью и будут распространяться возмущения.

[Munin]

Sicker в сообщении #774721 писал(а):

Munin, а не подскажете как уравнения масвелла можно свести к этому волновому уравнению?

О, это очень просто, и написано во всех учебниках по электромагнитным волнам (электродинамика, оптика). Мы берём уравнения Максвелла

$$\begin{array}{c@{\qquad\qquad}c}\operatorname{div}\mathbf{E}=0&\mathrm{(dE)}\\\operatorname{rot}\mathbf{E}=-\dfrac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}&\mathrm{(rE)}\\\operatorname{div}\mathbf{B}=0&\mathrm{(dM)}\\\operatorname{rot}\mathbf{B}=\varepsilon\varepsilon_0\mu\mu_0\dfrac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}&\mathrm{(rM)}\\\end{array}$$

и берём от них, соответственно, ротор (rE) и производную по времени (rM). Получаем:

$$\begin{matrix}\operatorname{rot}\operatorname{rot}\mathbf{E}=-\dfrac{\partial}{\partial t}\operatorname{rot}\mathbf{B}\\\dfrac{\partial}{\partial t}\operatorname{rot}\mathbf{B}=\varepsilon\varepsilon_0\mu\mu_0\dfrac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2}\\\end{matrix}$$

(производные по времени и по пространственным координатам перестановочны). Используем равенство для ротора ротора:

$$\operatorname{rot}\operatorname{rot}\mathbf{E}=\operatorname{grad}\operatorname{div}\mathbf{E}-\Delta\mathbf{E}=-\Delta\mathbf{E}$$

(потому что по (dE) первое слагаемое равно нулю), и подставляем одно в другое:

$$-\Delta\mathbf{E}=-\varepsilon\varepsilon_0\mu\mu_0\dfrac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2}$$

$$\varepsilon\varepsilon_0\mu\mu_0\dfrac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2}-\Delta\mathbf{E}=0$$

Вуаля! Волновое уравнение для $\mathbf{E}$ построено! (Нельзя думать, что оно независимо от магнитного поля. Хотя магнитное поле в этом уравнении не участвует, но решив это уравнение, обязательно надо построить соответствующее магнитное поле.) Это уравнение второго порядка, заметьте, а не первого. В этом уравнении коэффициент $(\varepsilon\varepsilon_0\mu\mu_0)^{-1}=v^2$ - квадрат скорости света в веществе. В вакууме будет, соответственно, $(\varepsilon_0\mu_0)^{-1}=c^2.$ В системе единиц СГС уравнения Максвелла сразу так и пишут, с коэффициентами $c,$ и более симметрично, что удобней для теоретических выкладок:

$$\begin{array}{c@{\qquad\qquad}c}\operatorname{div}\mathbf{E}=0&\mathrm{(dE)}\\\operatorname{rot}\mathbf{E}=-\dfrac{1}{c}\dfrac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}&\mathrm{(rE)}\\\operatorname{div}\mathbf{B}=0&\mathrm{(dM)}\\\operatorname{rot}\mathbf{B}=\dfrac{1}{c}\dfrac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}&\mathrm{(rM)}\\\end{array}$$

Аналогично, если взять производную по времени от (rE) и ротор от (rM), и использовать для обнуления одного слагаемого (dM), то получится волновое уравнение для магнитной составляющей:

$$\varepsilon\varepsilon_0\mu\mu_0\dfrac{\partial^2\mathbf{B}}{\partial t^2}-\Delta\mathbf{B}=0$$

Ещё в физике (особенно теоретической) рассматривают такой вариант. Рассматривают вместо вышезаписанной системы уравнений Максвелла другую форму, где поля выражены через потенциалы (скалярный потенциал $\varphi$ и векторный потенциал $\mathbf{A}$)

$$\begin{array}{c@{\qquad\qquad}c}\mathbf{B}\stackrel{\mathrm{def}}{=}\operatorname{rot}\mathbf{A}&\mathrm{(defM)}\\\mathbf{E}\stackrel{\mathrm{def}}{=}-\operatorname{grad}\varphi-\dfrac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}&\mathrm{(defE)}\\\operatorname{div}\mathbf{E}=0&\mathrm{(dE)}\\\operatorname{rot}\mathbf{B}=\varepsilon\varepsilon_0\mu\mu_0\dfrac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}&\mathrm{(rM)}\\\end{array}$$

(уравнения (dM) и (rE) следуют из (defM) и (defE) автоматически), и ещё одно условие, называемое калибровкой (в данном случае, калибровкой Лоренца, но можно выбирать и другую калибровку):

$$\operatorname{div}\mathbf{A}+\varepsilon\varepsilon_0\mu\mu_0\dfrac{\partial\varphi}{\partial t}=0\qquad\qquad\mathrm{(Lg)}$$

В этом случае, сами уравнения Максвелла (dE) и (rM) становятся, после подстановок, волновыми уравнениями для скалярного и векторного потенциала:

$$\varepsilon\varepsilon_0\mu\mu_0\dfrac{\partial^2\varphi}{\partial t^2}-\Delta\varphi=0$$

$$\varepsilon\varepsilon_0\mu\mu_0\dfrac{\partial^2\mathbf{A}}{\partial t^2}-\Delta\mathbf{A}=0$$

Эти уравнения между собой уже независимы, в отличие от волновых уравнений на $\mathbf{E}$ и $\mathbf{B}.$

-- 14.10.2013 01:14:49 --

Sicker в сообщении #774721 писал(а):

И зачем нужно волновое уравнение второго порядка(со вторыми производными) когда есть первого?

Как я уже сказал, волновое уравнение первого порядка позволяет движение волны только в одну сторону по оси $x$ - в положительную. А уравнение второго порядка - уже в две стороны, и в положительную, и в отрицательную! Как это происходит:

$$\biggl(\dfrac{\partial}{\partial t}-a\dfrac{\partial}{\partial x}\biggr)u=0$$

можно рассмотреть абстрактно как линейное уравнение $Au=0,$ где $u$ (искомая функция от $x,t$) - вектор некоторого векторного пространства, а $A=\partial/\partial t-a\,\partial/\partial x$ - оператор (линейное преобразование), действующий на этом векторном пространстве. Мы видим, что уравнение означает, что оператор должен обнулять искомый вектор. Уравнения такого типа в конечномерном случае вам хорошо известны: это системы линейных уравнений (с нулевой правой частью, т. е. однородные). Их решение представляет собой подпространство.

Очевидно, если мы домножим всё наше уравнение $Au=0$ на какой-то другой оператор, так чтобы получилось $BA=u,$ то решения старого уравнения останутся решениями нового: они обнулят уже произведение $Au,$ а ноль на что ни умножай - останется ноль. Но у этого уравнения могут появиться и новые решения, такие что $Au\ne 0,$ но $Au=v$ - некоторый новый вектор, являющийся решением уравнения $Bv=0.$

Рассмотрим такое произведение:

$$BA=\biggl(\dfrac{\partial}{\partial t}+a\dfrac{\partial}{\partial x}\biggr)\biggl(\dfrac{\partial}{\partial t}-a\dfrac{\partial}{\partial x}\biggr)$$

Если раскрыть скобки, то получаем

$$BA=\dfrac{\partial^2}{\partial t^2}-a^2\dfrac{\partial^2}{\partial x^2}=\biggl(\dfrac{\partial}{\partial t}-a\dfrac{\partial}{\partial x}\biggr)\biggl(\dfrac{\partial}{\partial t}+a\dfrac{\partial}{\partial x}\biggr)=AB,$$

то есть наши операторы оказались перестановочными (внимание! с операторами это бывает не всегда!). Тогда мы в довесок к решениям уравнения

$$\biggl(\dfrac{\partial}{\partial t}-a\dfrac{\partial}{\partial x}\biggr)u=0$$

получаем и решения уравнения

$$\biggl(\dfrac{\partial}{\partial t}+a\dfrac{\partial}{\partial x}\biggr)u=0$$

(поскольку $BAu=ABu=A(Bu)=A\cdot 0=0$). А что это за уравнение? Оно отличается знаком при коэффициенте $a,$ который равен скорости волн, и поэтому его решения представляют собой волны, движущиеся в обратную сторону по оси $x.$ Вот мы и получили, что уравнение

$$\biggl(\dfrac{\partial^2}{\partial t^2}-a^2\dfrac{\partial^2}{\partial x^2}\biggr)u=0$$

имеет решения, бегущие и вправо, и влево по оси $x.$ Это больше похоже на привычные физические волны (хотя "однонаправленные" волны в физике тоже иногда бывают).

Оператор в электромагнитных волновых уравнениях, которые я писал выше, ещё более сложный - это оператор Д'Аламбера

$$\square\stackrel{\mathrm{def}}{=}\dfrac{1}{c^2}\dfrac{\partial^2}{\partial t^2}-\Delta$$

(иногда пишут не $\square,$ а $\square^2,$ но сравнительно редко; Фейнман придерживался такого обозначения для студентов, и в "Фейнмановских лекциях по физике" используется именно оно; в серьёзной физике чаще пишут вообще $\partial^2$). Он может быть разложен на множители по-разному (такая ситуация не редкость с операторами), например, годится любое из разложений

$$\square=\biggl(\dfrac{1}{c}\mathbf{n}\dfrac{\partial}{\partial t}+\nabla\biggr)\biggl(\dfrac{1}{c}\mathbf{n}\dfrac{\partial}{\partial t}-\nabla\biggr)$$

где $\mathbf{n}$ - произвольно выбранный единичный вектор. А значит, решением волнового уравнения Д'Аламбера будет любое решение волнового уравнения первого порядка

$$\biggl(\dfrac{1}{c}\mathbf{n}\dfrac{\partial}{\partial t}-\nabla\biggr)u=0$$

- а это уравнение имеет решения в виде волны, бегущей в направлении $\mathbf{n}$ со скоростью $c,$ и при этом плоской - то есть, в поперечных направлениях ведущей себя как константа. Так что трёхмерный случай гораздо богаче одномерного: мы имеем волны не в двух направлениях, а в бесконечном числе направлений (и не только плоские волны, но это другой разговор). И это возможно именно за счёт второго порядка волнового уравнения.

[Sicker]

а есть ли какие-нибудь еще преимущества волнового уравнения второго порядка кроме как получения дополнительного решения с противоположной скоростью?(и проще было бы рассмотреть совокупность двух волновых уравнений первого порядка с противоположными коэффициентами)
рассмотрим сначала одномерный случай

[rustot]

Sicker в сообщении #775290 писал(а):

рассмотрим сначала одномерный случай

ну возьмите "одномерный" случай поля E, имеющего только компоненту $E_x = f(z-v t)$, то есть "двигающегося" как есть, вдоль z. тут примечательно что $\frac{\partial}{\partial t} E_x = -v \frac{\partial}{\partial z} E_x$. то есть $\operatorname{rot} \vec{E} = \vec{n_y}\frac{\partial}{\partial z}E_x = -\vec{n_y} \frac{1}{v} \frac{\partial}{\partial t} E_x$

ну и подставляя это в уравнения максвелла вы обнаружите, что они для заданной конфигурации поля валидны только если $v = c$. то есть мы придумали из головы какую-то конфигурацию $\vec{E}$, а потом сверив с уравнениями максвелла обнаружили в каком единственном случае она возможна, какими в этом случае обязаны будут быть $\vec{H}$ и $v$ (а могли допустим придумать неудачно и обнаружить что она просто невозможна). вот на пальцах как выводится для простого частного случая, в котором ротор вырождается в производную по единственной координате. ну а в общем случае - выше

[Munin]

Sicker в сообщении #775290 писал(а):

а есть ли какие-нибудь еще преимущества волнового уравнения второго порядка кроме как получения дополнительного решения с противоположной скоростью?

Нет, нету.

Sicker в сообщении #775290 писал(а):

(и проще было бы рассмотреть совокупность двух волновых уравнений первого порядка с противоположными коэффициентами)

Можно и так считать. Но закавыка вот в чём: такая совокупность - это уже решение исходного уравнения. Частичное, не доведённое до конца, но уже решение.

Точно так же, можно записывать не один закон $\ddot{\vec{\,r}}=\vec{g},$ а совокупность его решений: множество парабол.

Но физика стремится в обратную сторону: от решений к общим законам. У этого есть и практическая сторона: общий закон может работать и в тех случаях, которые не перечислены, когда вы перебирали решения. Например, зная $\vec{F}=m\vec{g},$ мы можем найти не только параболы, но и движение в случае действия нескольких сил.

[Sicker]

точно, например волновое уравнение второго порядка может описать стоячие волны, а первое, и совокупность первого не может
и множество суперпозиций волн....да?

[Munin]

Множество суперпозиций волн - может описать и уравнение первого порядка. И вообще многие уравнения. Для этого уравнению нужно всего-навсего быть линейным. Тогда, если $Au=0$ и $Av=0,$ то $A(\lambda u+\mu v)=0$ для любых коэффициентов. Линейными являются очень многие волновые уравнения, и другие уравнения математической физики (например, уравнения электростатики, теплопроводности). Нелинейные уравнения тоже встречаются, но они гораздо сложнее для анализа, их научились решать только в 20 веке, и то только в редких случаях.

(В случае волнового уравнения Шрёдингера, само уравнение линейно, и принцип суперпозиции выполняется, но физическими считаются только нормированные решения $\lVert u\rVert=1,$ что накладывает одно ограничение на коэффициенты линейной комбинации.)

[Sicker]

Цитата:

если $Au=0$ и $Av=0,$

при фиксированной константе $a$ такое невозможно, те будет лишь обнуляться при одном решении