Munin, а не подскажете как уравнения масвелла можно свести к этому волновому уравнению?
О, это очень просто, и написано во всех учебниках по электромагнитным волнам (электродинамика, оптика). Мы берём уравнения Максвелла

и берём от них, соответственно, ротор (rE) и производную по времени (rM). Получаем:

(производные по времени и по пространственным координатам перестановочны). Используем равенство для ротора ротора:

(потому что по (dE) первое слагаемое равно нулю), и подставляем одно в другое:

Вуаля! Волновое уравнение для

построено! (Нельзя думать, что оно независимо от магнитного поля. Хотя магнитное поле в этом уравнении не участвует, но решив это уравнение, обязательно надо построить соответствующее магнитное поле.) Это уравнение второго порядка, заметьте, а не первого. В этом уравнении коэффициент

- квадрат скорости света в веществе. В вакууме будет, соответственно,

В системе единиц СГС уравнения Максвелла сразу так и пишут, с коэффициентами

и более симметрично, что удобней для теоретических выкладок:

Аналогично, если взять производную по времени от (rE) и ротор от (rM), и использовать для обнуления одного слагаемого (dM), то получится волновое уравнение для магнитной составляющей:

Ещё в физике (особенно теоретической) рассматривают такой вариант. Рассматривают вместо вышезаписанной системы уравнений Максвелла другую форму, где поля выражены через потенциалы (скалярный потенциал

и векторный потенциал

)

(уравнения (dM) и (rE) следуют из (defM) и (defE) автоматически), и ещё одно условие, называемое калибровкой (в данном случае, калибровкой Лоренца, но можно выбирать и другую калибровку):

В этом случае, сами уравнения Максвелла (dE) и (rM) становятся, после подстановок, волновыми уравнениями для скалярного и векторного потенциала:

Эти уравнения между собой уже независимы, в отличие от волновых уравнений на

и
-- 14.10.2013 01:14:49 --И зачем нужно волновое уравнение второго порядка(со вторыми производными) когда есть первого?
Как я уже сказал, волновое уравнение первого порядка позволяет движение волны только в одну сторону по оси

- в положительную. А уравнение второго порядка - уже в две стороны, и в положительную, и в отрицательную! Как это происходит:

можно рассмотреть абстрактно как линейное уравнение

где

(искомая функция от

) - вектор некоторого векторного пространства, а

- оператор (линейное преобразование), действующий на этом векторном пространстве. Мы видим, что уравнение означает, что оператор должен обнулять искомый вектор. Уравнения такого типа в конечномерном случае вам хорошо известны: это системы линейных уравнений (с нулевой правой частью, т. е. однородные). Их решение представляет собой подпространство.
Очевидно, если мы домножим всё наше уравнение

на какой-то другой оператор, так чтобы получилось

то решения старого уравнения останутся решениями нового: они обнулят уже произведение

а ноль на что ни умножай - останется ноль. Но у этого уравнения могут появиться и новые решения, такие что

но

- некоторый новый вектор, являющийся решением уравнения

Рассмотрим такое произведение:

Если раскрыть скобки, то получаем

то есть наши операторы оказались перестановочными (внимание! с операторами это бывает не всегда!). Тогда мы в довесок к решениям уравнения

получаем и решения уравнения

(поскольку

). А что это за уравнение? Оно отличается знаком при коэффициенте

который равен скорости волн, и поэтому его решения представляют собой волны, движущиеся в обратную сторону по оси

Вот мы и получили, что уравнение

имеет решения, бегущие и вправо, и влево по оси

Это больше похоже на привычные физические волны (хотя "однонаправленные" волны в физике тоже иногда бывают).
Оператор в электромагнитных волновых уравнениях, которые я писал выше, ещё более сложный - это оператор Д'Аламбера

(иногда пишут не

а

но сравнительно редко; Фейнман придерживался такого обозначения для студентов, и в "Фейнмановских лекциях по физике" используется именно оно; в серьёзной физике чаще пишут вообще

). Он может быть разложен на множители по-разному (такая ситуация не редкость с операторами), например, годится любое из разложений

где

- произвольно выбранный единичный вектор. А значит, решением волнового уравнения Д'Аламбера будет любое решение волнового уравнения первого порядка

- а это уравнение имеет решения в виде волны, бегущей в направлении

со скоростью

и при этом
плоской - то есть, в поперечных направлениях ведущей себя как константа. Так что трёхмерный случай гораздо богаче одномерного: мы имеем волны не в двух направлениях, а в бесконечном числе направлений (и не только плоские волны, но это другой разговор). И это возможно именно за счёт второго порядка волнового уравнения.