1 курс.1. Докажите неравенство

2. На окружности заданы точки

и

. Найдите на окружности такую точку

, чтобы периметр треугольника

был наибольшим.
3. Найти все натуральные

, при которых оба числа

и

являются кубами натуральных чисел.
4. Докажите, что из

различных натуральных чисел, не превосходящих

, можно выбрать четыре различных числа

, удовлетворяющих равенству

5. Докажите, что существует бесконечно много рациональных

, при каждом из которых

тоже рационально.
2-4 курсы1. Интегрируемая по Риману на
![$[a,b]$ $[a,b]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/e/4/fe477a2781d275b4481790690fccd15f82.png)
функция

удовлетворяет неравенству

Докажите, что

на некотором отрезке
![$[c,d]\subseteq[a,b].$ $[c,d]\subseteq[a,b].$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/e/c/dec577db6f3825331ab775140ba8b3c982.png)
2. Пусть на множестве

задана бинарная операция

, удовлетворяющая тождеству

. Докажите, что эта операция удовлетворяет также тождеству

3. Докажите, что числа

и

при

взаимно просты.
4. Квадратные матрицы

и

с вещественными элементами перестановочны и при возведении в квадрат их ранг не меняется. Докажите, что

5. См 5-ю задачу для 1 курса.