2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 Олимпиада НГУ-2013
Сообщение13.10.2013, 10:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5903
Новосибирск
1 курс.
1. Докажите неравенство $$\sqrt{2x^{2}-2x+1}+\sqrt{2x^{2}+2x+1}\geqslant  2$$
2. На окружности заданы точки $A$ и $B$. Найдите на окружности такую точку $C$, чтобы периметр треугольника $ABC$ был наибольшим.
3. Найти все натуральные $n$, при которых оба числа $n-1$ и $n^2+3n+17$ являются кубами натуральных чисел.
4. Докажите, что из $64$ различных натуральных чисел, не превосходящих $1000$, можно выбрать четыре различных числа $a, b, c, d$, удовлетворяющих равенству $a+b=c+d.$
5. Докажите, что существует бесконечно много рациональных $x$, при каждом из которых $\sqrt{x^2+x+3}$ тоже рационально.

2-4 курсы
1. Интегрируемая по Риману на $[a,b]$ функция $f$ удовлетворяет неравенству $$\int\limits_a^b f(x)\, dx >0.$$ Докажите, что $f(x)>0$ на некотором отрезке $[c,d]\subseteq[a,b].$
2. Пусть на множестве $G$ задана бинарная операция $\cdot$, удовлетворяющая тождеству $x(yx)=y$. Докажите, что эта операция удовлетворяет также тождеству $(xy)x=y$

3. Докажите, что числа $2^{2^{m}}+1$ и $2^{2^{n}}+1$ при $m\ne n$ взаимно просты.
4. Квадратные матрицы $A$ и $B$ с вещественными элементами перестановочны и при возведении в квадрат их ранг не меняется. Докажите, что $\operatorname{rank} (AB)^2=\operatorname{rank} AB$
5. См 5-ю задачу для 1 курса.

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ-2013
Сообщение13.10.2013, 10:43 


19/05/10

3940
Россия
1. Сумма расстояний не меньше корня из 2

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ-2013
Сообщение13.10.2013, 10:56 


26/08/11
2057
Хорошая олимпиада:)
3) Если обе являются кубами, то и их произведение - тоже. Проверкой $n^3<f(n)<(n+1)^3$ доказываем отсутсвие решений при $n>9$
Решения: 2,9.

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ-2013
Сообщение13.10.2013, 10:58 
Заслуженный участник


28/04/09
1933
mihailm в сообщении #774514 писал(а):
не меньше корня из 2
Откуда корень? Тут же простое неравенство треугольника...

-- Вс окт 13, 2013 11:05:45 --

bot в сообщении #774512 писал(а):
2. Пусть на множестве $G$ задана бинарная операция $\cdot$, удовлетворяющая тождеству $x(yx)=y$. Докажите, что эта операция удовлетворяет также тождеству $(xy)x=y$
$y=\left(xy\right)\left(y\left(xy\right)\right)=\left(xy\right)x$

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ-2013
Сообщение13.10.2013, 11:07 


26/08/11
2057
5)
$(2y)^2-(2x+1)^2=11$
в рациональных...полная параметризация не проблема.

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ-2013
Сообщение13.10.2013, 11:13 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
bot в сообщении #774512 писал(а):
5. Докажите, что существует бесконечно много рациональных $x$, при каждом из которых $\sqrt{x^2+x+3}$ тоже рационально.
Не рискнули попросить 5-курсников найти их все?

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ-2013
Сообщение13.10.2013, 13:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5903
Новосибирск

(Оффтоп)

Нечётный знаменатель годится любой, а случай чётного чуток сложнее. Времени же 4 часа на всё про всё... Да, не рискнул.
А ещё я прокололся в 4-й для первокуров - просмотрел совсем простое решение (был в плену готового решения другой задачи). Чтобы отсечь его надо было взять числа от -500 до 500 или взять только трёхзначные, а 64 заменить на 61.
А 5 курс у нас не участвует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ-2013
Сообщение13.10.2013, 14:38 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
bot в сообщении #774557 писал(а):

(Оффтоп)

Нечётный знаменатель годится любой, а случай чётного чуток сложнее. Времени же 4 часа на всё про всё... Да, не рискнул.
А ещё я прокололся в 4-й для первокуров - просмотрел совсем простое решение (был в плену готового решения другой задачи). Чтобы отсечь его надо было взять числа от -500 до 500 или взять только трёхзначные, а 64 заменить на 61.
А 5 курс у нас не участвует.

(Оффтоп)

5-е номера задач почему-то проассоциировались у меня с 5-м курсом :facepalm: Нашёл у себя в компьютере задачку про 61 трёхзначных чисел. Там решение основано на подсчёте пар и возможных значений сумм в этих парах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ-2013
Сообщение13.10.2013, 15:06 


19/05/10

3940
Россия
EtCetera в сообщении #774517 писал(а):
mihailm в сообщении #774514 писал(а):
не меньше корня из 2
Откуда корень?...

Ну мне такая интерпретация в голову пришла. Сумма расстояний от точки $(x,0)$ до точек $(\frac{1}{2},\frac{1}{2}),(\frac{-1}{2},\frac{1}{2})$ больше $\sqrt{2}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ-2013
Сообщение13.10.2013, 15:20 
Заслуженный участник


28/04/09
1933
mihailm в сообщении #774586 писал(а):
Сумма расстояний от точки $(x,0)$ до точек $(\frac{1}{2},\frac{1}{2}),(\frac{-1}{2},\frac{1}{2})$ больше $\sqrt{2}$
Теперь понятно, Вы другой треугольник взяли. Я рассматривал треугольник с вершинами в точках $(x,0)$, $(0,x-1)$ и $(0,x+1)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ-2013
Сообщение13.10.2013, 16:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5903
Новосибирск

(Оффтоп)

nnosipov в сообщении #774581 писал(а):
Нашёл у себя в компьютере задачку про 61 трёхзначных чисел

Смотри-ка - ничто не ново под луной! Только в этом случае более естественно идти через разности. А если через суммы, то предварительно воспользоваться сдвигом $x\to x+a, a\in \mathbb Z$ - благо задача к такому сдвигу индифферентна.
Вчера вечером 4-я задача 1 курса была в такой редакции:
Докажите, что из $64$ различных натуральных чисел, не превосходящих $2013$, можно выбрать либо три различных числа, образующие в некотором порядке арифметическую прогрессию, либо - четыре различных числа $a, b, c, d$, удовлетворяющие равенству $a+b=c+d.$
Пока шёл от остановки до универа задумал разгрузить формулировку и одновременно слегка усложнить решение. Формулировку разгрузил, а решение, оказывается, упростил.

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ-2013
Сообщение13.10.2013, 16:45 


26/08/11
2057
bot в сообщении #774512 писал(а):
3. Докажите, что числа $2^{2^{m}}+1$ и $2^{2^{n}}+1$ при $m\ne n$ взаимно просты.
Последовательност $a_k=2^{2^{k}}$ можно задать рекуррентно
$\\a_0=2\\
a_{k+1}=(a_k)^2$

Если $a_m \equiv -1 \pmod p$, то $a_{m+1} \equiv 1 \pmod p.$ Дальше все остатки по модулю p 1

$a_m+1 \equiv 0 \pmod p \Rightarrow a_n+1 \equiv 2 \pmod p \forall n>m$

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ-2013
Сообщение13.10.2013, 18:49 


26/08/11
2057
bot в сообщении #774512 писал(а):
Докажите, что из $64$ различных натуральных чисел
Я пропустил важное слово "различных", решал, только один особый случай остался, но надоело и бросил. Да, через попарную разность элементов (модуль разности). Новое множество содержит 2016 чисел от 0 до 999. Если в новом множестве есть 4 одинаковые числа - задача решена. Если нет, по принципу Дирихле будут три одинаковые числа, причем не одна тройка, а как мининум 16. Единственный вариант без участия 4-х различных элементов исходного множества - если в исходном множестве есть три одинаковые элемента. Понятно что все остальные должны быть различными. Вариант - свести к "из 62-х различных натуральных чисел..." Интересно, будет ли верно в такой формулировке. Мне кажется, что да.

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ-2013
Сообщение13.10.2013, 20:40 
Аватара пользователя


03/10/13
449
bot в сообщении #774512 писал(а):
5. Докажите, что существует бесконечно много рациональных $x$, при каждом из которых $\sqrt{x^2+x+3}$ тоже рационально.


$$x^2+x+3 = d^2$$
$$x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{4d^2-11}}{2}$$
$$4d^2-11=\frac{p^2}{q^2}$$
$$d^2 = \frac{p^2+11q^2}{4q^2}; p,q \in \mathbb{Z}$$
$$p^2+11q^2 = f^2; f \in \mathbb{Z}$$
$$11q^2=(f-p)(f+p)$$
$$f=11+p; q^2 = 11+2p$$

$$(2k+1)^2=11+2p; k \in \mathbb{Z}$$
$$p=2k^2+2k-5;q=2k+1;k\in \mathbb{Z}$$
$$x=\frac{-1 \pm \frac{2k^2+2k-5}{2k+1}}{2}, k \in \mathbb{Z}$$

Получили бесконечное семейство решений.

(Оффтоп)

Кстати, где бы понаходить задания разных студ. олимпиад? Что-то интересно стало.

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ-2013
Сообщение14.10.2013, 08:10 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
bot в сообщении #774512 писал(а):
1. Интегрируемая по Риману на $[a,b]$ функция $f$ удовлетворяет неравенству $$\int\limits_a^b f(x)\, dx >0.$$ Докажите, что $f(x)>0$ на некотором отрезке $[c,d]\subseteq[a,b].$

А чем можно пользоваться?...

Если хотя бы в одной точке непрерывности функция положительна, то утверждение верно. Если же наоборот, то функция неположительна на множестве полной меры, ч.т.д.

-- Пн окт 14, 2013 09:14:31 --

bot в сообщении #774512 писал(а):
1. Докажите неравенство $$\sqrt{2x^{2}-2x+1}+\sqrt{2x^{2}+2x+1}\geqslant  2$$

За геометрию думать лень, но вот что очевидно: что функция чётная и выпукла вниз.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 52 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group