Неприводимый многочлен [Алгебра]

[Whitaker]

nnosipov
Я вроде решил еще так:
Пусть $\alpha\in \mathbb{C}$ -- корень кратности 2(для удобства) многочлена $f(x)\in \mathbb{Z}[x]$
Тогда существует многочлен минимальной степени $h(x)\in\mathbb{Z}[x]$ для которого $\alpha\in \mathbb{C}$ будет корнем, т.е. $\deg h(x)\geqslant 1.$
Я утверждаю, что $h\mid f$ и $h\mid f'$

(Доказательство утверждения)

Делим $f$ на $h$ с остатком и получаем, что $f=hq+r,$ причем $\deg r<\deg h$. Учитывая, что $f(\alpha)=h(\alpha)=0$ получаем, что $r(\alpha)=0$. Но $h$ по предположению является многочленом с минимальным степенем .... Значит, $r(x)=0$. Аналогично делаем для $f'$ так как $f'(\alpha)=0$

Замечание: Мы выяснили, что многочлены $f$ и $f'$ взаимно просты на над полем нулевой характеристики (в частности, над кольцом $\mathbb{Z}[x]$ где нет делителей нуля) при условии, что $f$ -- неприводимый.
Мы получаем, что $h\mid \gcd(f, f')$. Получаем противоречие. Вроде так

[nnosipov]

Whitaker в сообщении #774272 писал(а):

Я вроде решил еще так:

Можно и так.

[Whitaker]

nnosipov
Искренне благодарю Вас за оказанную помощь! Много чего узнал

[nnosipov]

Да на здоровье