2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Неприводимый многочлен [Алгебра]
Сообщение12.10.2013, 18:51 
Аватара пользователя
nnosipov
Я вроде решил еще так:
Пусть $\alpha\in \mathbb{C}$ -- корень кратности 2(для удобства) многочлена $f(x)\in \mathbb{Z}[x]$
Тогда существует многочлен минимальной степени $h(x)\in\mathbb{Z}[x]$ для которого $\alpha\in \mathbb{C}$ будет корнем, т.е. $\deg h(x)\geqslant 1.$
Я утверждаю, что $h\mid f$ и $h\mid f'$

(Доказательство утверждения)

Делим $f$ на $h$ с остатком и получаем, что $f=hq+r,$ причем $\deg r<\deg h$. Учитывая, что $f(\alpha)=h(\alpha)=0$ получаем, что $r(\alpha)=0$. Но $h$ по предположению является многочленом с минимальным степенем .... Значит, $r(x)=0$. Аналогично делаем для $f'$ так как $f'(\alpha)=0$
Замечание: Мы выяснили, что многочлены $f$ и $f'$ взаимно просты на над полем нулевой характеристики (в частности, над кольцом $\mathbb{Z}[x]$ где нет делителей нуля) при условии, что $f$ -- неприводимый.
Мы получаем, что $h\mid \gcd(f, f')$. Получаем противоречие. Вроде так

 
 
 
 Re: Неприводимый многочлен [Алгебра]
Сообщение12.10.2013, 18:58 
Whitaker в сообщении #774272 писал(а):
Я вроде решил еще так:
Можно и так.

 
 
 
 Re: Неприводимый многочлен [Алгебра]
Сообщение12.10.2013, 19:00 
Аватара пользователя
nnosipov
Искренне благодарю Вас за оказанную помощь! Много чего узнал :-)

 
 
 
 Re: Неприводимый многочлен [Алгебра]
Сообщение12.10.2013, 19:10 
Да на здоровье :-)

 
 
 [ Сообщений: 19 ]  На страницу Пред.  1, 2


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group