сходимость ряда

[Q_Q]

дан ряд $ \sum\limits_{n=3}^{\infty} \ln ({1+\sin \frac {-1^{n+1}} {n^q} } ) $ q>0
выяснить сходимость/расходимость в зависимости от q

я рассуждал так
ряд сходится абсолютно при q>1
сначала разложил sin по тейлору до $\frac {-1^{n+1}} {n^q} + o (\frac {1} {n^{2q}})$
затем логарифм до $\frac {-1^n+1} {n^q} - \frac {1} {2n^{2q}} + o (\frac {1} {n^{2q}})$
и сделал вывод, что ряд сходится условно при $\frac {1} {2}$<q<=1
и расходится при 0<q<=$\frac {1} {2}$
на что мне было сказано что такие действия неправомочны и я в чем то ошибся,
если не затруднит, объясните где я был неправ

[ИСН]

И чо? Логарифм в ряд, синус в ряд. Больше двух членов ни там, ни там не понадобится.

[Руст]

ИСН писал(а):

И чо? Логарифм в ряд, синус в ряд. Больше двух членов ни там, ни там не понадобится.

Такой способ ничего бы не дал, если бы вместо ln(1+x) была опять нечётная функция, например tgy, y=sin( ) даже при бесконечном разложении.

[Q_Q]

ну а если не раскладывать по тейлору, то каким еще способом можно выяснить сходимость этого ряда

[Руст]

Ряд знакочередующий, поэтому так или иначе придётся оценивать, что дает сумма двух последующих членов и как ведёт себя такие суммы с ростом номеров.

[Q_Q]

можно немного подробнее?

[Brukvalub]

Вы получили, что общий член ряда равен $\frac {(-1)^{n+1}} {n^q} - \frac {1} {2n^{2q}} + o (\frac {1} {n^{2q}})$. Тем самым Вы представили общий член ряда в виде суммы членов двух рядов:$\frac {(-1)^{n+1}} {n^q}$ и $ - \frac {1} {2n^{2q}} + o (\frac {1} {n^{2q}})$ Первый из двух рядов - знакочередующийся и сходится при р>0. Второй ряд - знакопостоянный и сходится только при 2р>1. Сумма сходящегося и расходящегося рядов расходится, поэтому Вы указали верный ответ.

[Q_Q]

а как объяснить что полученный результат для разложенного ряда
будет верен для начального?

[Brukvalub]

Q_Q писал(а):

а как объяснить что полученный результат для разложенного ряда
будет верен для начального?

Забавный вопрос. Итак, Вы записали иное, но верное представление для общего члена исходного ряда, с помощью этого представления получили ответ, и теперь не понимаете, почему ответ относится к исходному ряду??? По-моему, это следует из элементарных правил логических рассуждений.

[Q_Q]

ну просто мне был задан такой вопрос, и я был немного в смятении, поэтому и решил удостовериться в правильности моих рассуждений

[bot]

Полный ответ состоит из утверждений (q>0 по условию):
1) сходится при $q > \frac{1}{2}$
2) расходится при $0<q\le \frac{1}{2}$.
Brukvalub просто не ткнул пальцем, какая часть его ответа относится к первому утверждению, а какая ко второму.
Видимо преподаватель требует явного разделения ответа на две части.