Функция и множество её точек непрерывности

[myjobisgop]

Всем доброго дня. Решаю такую задачу.

Есть функция $f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R} $. Нужно доказать что множество её точек непрерывности имеет тип $G_{\delta}$

У меня были такие идеи:
Пусть $D$ - множество точек разрывности этой функции на отрезке $[0,1]$. Можно попытаться доказать, что $D$ имеет тип $F_{\sigma}$
Для этого нужно доказать, что $D$ не более чем счетно или счетно. Верно ли это? Помоему в анализе была какая то похожая теорема.

[provincialka]

myjobisgop в сообщении #773763 писал(а):

$D$ не более чем счетно или счетно.

Это неверно, возьмите хотя бы функцию Дирихле

[Xaositect]

myjobisgop в сообщении #773763 писал(а):

Для этого нужно доказать, что $D$ не более чем счетно или счетно. Верно ли это?

Неверно, функция Дирихле разрывна в континууме точек.

myjobisgop в сообщении #773763 писал(а):

Можно попытаться доказать, что $D$ имеет тип $F_{\sigma}$
Для этого нужно доказать, что $D$ не более чем счетно или счетно.

Почему? $F_{\sigma}$ же не только счетные множества содержит.

[SpBTimes]

Точка $x_0$ - точка непрерывности, если колебание $w(f)$ в этой точке равно нулю, т.е. $w_{x_0}(f) = 0$. Ну рассмотрите множество $E_k = \{x \in [0;1]: w(x) < \frac{1}{k}\}$. Покажите, что множества $E_k$ открыты. Ну и как получить теперь нужное вам множество?

[myjobisgop]

SpBTimes в сообщении #773768 писал(а):

Точка $x_0$ - точка непрерывности, если колебание $w(f)$ в этой точке равно нулю, т.е. $w_{x_0}(f) = 0$. Ну рассмотрите множество $E_k = \{x \in [0;1]: w(x) < \frac{1}{k}\}$. Покажите, что множества $E_k$ открыты. Ну и как получить теперь нужное вам множество?

Как доказать что оно открыто? (Я плохо знаком с понятием колеблемости)

[SpBTimes]

Колебанием функции на множестве $E$ называется величина $w_E(f) = \sup\limits_{x', x'' \in E}|f(x') - f(x'')|$.
Рассмотрим $\delta$ окрестность $U_{\delta}(a)$ точки $a$. Колебанием функции в точке $a$ называется величина $\lim\limits_{\delta \to 0+} w_{U_{\delta}(a)}(f)$

-- Пт окт 11, 2013 16:56:05 --

Я плохо написал $E_k = \{x \in [0; 1]: w_x(f) < \frac{1}{k}\}$, такие множества можно рассмотреть.
Воспользуйтесь тем, что функция $w$ - невозрастающая при $\delta \to 0+$.