Сумма производных

[DjD USB]

Пусть $P(x)$ - такой многочлен степени $n$, что $P(x) \ge 0$ для всех действительных $x$. Докажите, что
$$ f(x)= P(x)+ P'(x)+ P''(x)+...+P^{(n)}(x) \ge 0$ для всех $x$.

[Cash]

Рассмотрите $f'(x)$ и знаки $f'(x)$, $f(x)$ в районе наибольшего корня $f(x)$.

[DjD USB]

Cash в сообщении #773718 писал(а):

Рассмотрите $f'(x)$ и знаки $f'(x)$, $f(x)$ в районе наибольшего корня $f(x)$.

Я не понимаю, как это делать...

[Neos]

$P(x)\ge0$ может быть при полиноме четной степени.
Нужно рассмотреть суммму $x^n$ и ее призводную
$s(x)=x^n+nx^{n-1}=x^{n-1}(x-n)$
$n$ фиксировано, $x$ может меняться, и
Всегда ли $s(x)$ будет положительной ?

[DjD USB]

Neos в сообщении #773721 писал(а):

$P(x)\ge0$ может быть при полиноме четной степени.
Нужно рассмотреть суммму $x^n$ и ее призводную
$s(x)=x^n+nx^{n-1}=x^{n-1}(x-n)$
$n$ фиксировано, $x$ может меняться, и
Всегда ли $s(x)$ будет положительной ?

Нет, например при 0<х<n

-- Пт окт 11, 2013 10:13:38 --

И что мне это дает? Пока не понимаю...

[Neos]

для $n=2$ $f(x)=x^2+2x+2$
Если его приравнять $0$, то дискриминант будет $D<0$
Действительных корней нет. Вопрос. Есть ли для уравнений произвольной степени характеристики типа $D$ для $n>2$ ?

[DjD USB]

Подождите... У вас $P(x)$ чему равен...

[Cash]

DjD USB в сообщении #773720 писал(а):

Cash в сообщении #773718 писал(а):

Рассмотрите $f'(x)$ и знаки $f'(x)$, $f(x)$ в районе наибольшего корня $f(x)$.

Я не понимаю, как это делать...

Для начала продифференцируйте выражение для $f(x)$.

-- Пт окт 11, 2013 12:15:36 --

После дифференцирования свяжите $P(x)$, $f(x)$ и $f'(x)$. Потом посмотрите может ли быть $P(x)$ произвольной степени? Как ведут себя $P(x)$, $f'(x)$ и $f(x)$ на бесконечности? Потом поймите каким должен быть знак у $f'(x)$, чтобы в окрестности корня $f(x)$ мог принимать отрицательные значения? Как расположены корни $f(x)$ и $f'(x)$ между собой? Ну и так далее. Обычные вещи, которые называются исследованием. Порисуйте обязательно. И глядишь, задача из неподъемной станет совершенно прозрачной.
И ещё. Давайте пока считать, что $P(x)>0$ и доказывать, что тогда $f(x)>0$.

-- Пт окт 11, 2013 12:46:04 --

(Оффтоп)

И ещё такое замечание. Не знаю как у всех, но у меня при виде $f(x)$ в уме возникает некая произвольная непрерывная функция. В данном случае $f(x)$ не произвольная непрерывная функция, а из довольно узкого класса - многочленов. Но, из-за обозначения, свойства, присущие именно многочленам в применении к $f(x)$ доходят до меня не сразу. Мелочь, но иногда может иметь решающее значение. Лучше многочлены обозначать $P(x), Q(x), R(x)...$ и т.д.
Всё это, конечно, совершенно необязательно, но у меня вот так...

[Null]

В точке минимума производная равна 0?

[Cash]

По любому...

[DjD USB]

Cash
Во-первых $f'(x)= P(x)+ f(x)$
Во-вторых степень Р(х) четная
Про бессконечность не понятно пока, ну в принципе общий вид Р(х) на графике понятен.

[DjD USB]

Извиняюсь $f(x)-f'(x)=P(x)$ если $f'(x)\ge 0$ то f(x)>0. А вот если производная меньше нуля пока не придумал ничего...

[provincialka]

Пусть $f$ в какой нибудь точке равна 0. Как ведет себя в этой точке производная?сама функция?

[DjD USB]

Производная меньше нуля если функция нулю равна.

[Sonic86]

(Оффтоп)

Ура!!! Я понял!!!
Кстати, рисовать почти не нужно.

Можно так:

DjD USB в сообщении #774181 писал(а):

Производная меньше нуля если функция нулю равна.

сколько корней имеет $f(x)$, если $f(x)$ имеет корень?