Сумма производных

DjD USB · 11.10.2013, 09:28

Пусть $P(x)$ - такой многочлен степени $n$ , что $P(x) \ge 0$ для всех действительных $x$ . Докажите, что
$$ f(x)= P(x)+ P'(x)+ P''(x)+...+P^{(n)}(x) \ge 0$ для всех $x$ .

Cash · 11.10.2013, 09:48

Рассмотрите $f'(x)$ и знаки $f'(x)$ , $f(x)$ в районе наибольшего корня $f(x)$ .

DjD USB · 11.10.2013, 09:53

Cash в сообщении #773718 писал(а):

Рассмотрите $f'(x)$ и знаки $f'(x)$ , $f(x)$ в районе наибольшего корня $f(x)$ .

Я не понимаю, как это делать...

Neos · 11.10.2013, 09:56

$P(x)\ge0$ может быть при полиноме четной степени.
Нужно рассмотреть суммму $x^n$ и ее призводную
$s(x)=x^n+nx^{n-1}=x^{n-1}(x-n)$
$n$ фиксировано, $x$ может меняться, и
Всегда ли $s(x)$ будет положительной ?

DjD USB · 11.10.2013, 10:00

Neos в сообщении #773721 писал(а):

$P(x)\ge0$ может быть при полиноме четной степени.
Нужно рассмотреть суммму $x^n$ и ее призводную
$s(x)=x^n+nx^{n-1}=x^{n-1}(x-n)$
$n$ фиксировано, $x$ может меняться, и
Всегда ли $s(x)$ будет положительной ?

Нет, например при 0<х<n

-- Пт окт 11, 2013 10:13:38 --

И что мне это дает? Пока не понимаю...

Neos · 11.10.2013, 10:22

для $n=2$ $f(x)=x^2+2x+2$
Если его приравнять $0$ , то дискриминант будет $D<0$
Действительных корней нет. Вопрос. Есть ли для уравнений произвольной степени характеристики типа $D$ для $n>2$ ?

DjD USB · 11.10.2013, 10:25

Подождите... У вас $P(x)$ чему равен...

Cash · 11.10.2013, 11:06

DjD USB в сообщении #773720 писал(а):

Cash в сообщении #773718 писал(а):

Рассмотрите $f'(x)$ и знаки $f'(x)$ , $f(x)$ в районе наибольшего корня $f(x)$ .

Я не понимаю, как это делать...

Для начала продифференцируйте выражение для $f(x)$ .

-- Пт окт 11, 2013 12:15:36 --

После дифференцирования свяжите $P(x)$ , $f(x)$ и $f'(x)$ . Потом посмотрите может ли быть $P(x)$ произвольной степени? Как ведут себя $P(x)$ , $f'(x)$ и $f(x)$ на бесконечности? Потом поймите каким должен быть знак у $f'(x)$ , чтобы в окрестности корня $f(x)$ мог принимать отрицательные значения? Как расположены корни $f(x)$ и $f'(x)$ между собой? Ну и так далее. Обычные вещи, которые называются исследованием. Порисуйте обязательно. И глядишь, задача из неподъемной станет совершенно прозрачной.
И ещё. Давайте пока считать, что $P(x)>0$ и доказывать, что тогда $f(x)>0$ .

-- Пт окт 11, 2013 12:46:04 --

(Оффтоп)

И ещё такое замечание. Не знаю как у всех, но у меня при виде $f(x)$ в уме возникает некая произвольная непрерывная функция. В данном случае $f(x)$ не произвольная непрерывная функция, а из довольно узкого класса - многочленов. Но, из-за обозначения, свойства, присущие именно многочленам в применении к $f(x)$ доходят до меня не сразу. Мелочь, но иногда может иметь решающее значение. Лучше многочлены обозначать $P(x), Q(x), R(x)...$ и т.д.
Всё это, конечно, совершенно необязательно, но у меня вот так...