Задача разложения оператора

[Raynor]

Добрый день!

Есть задача:
Разложить оператор $(\hat{F}-\lambda\hat{G})^{-1}$ по степеням малого параметра $\lambda$.
Ответ: $(\hat{F}-\lambda\hat{G})^{-1}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}(\lambda\hat{F}^{-1}\hat{G})^n$.

Проблема в том, что я даже не понимаю чего я не понимаю. Подскажите, пожалуйста, что почитать, чтобы понять как решить данную задачу.
Я сейчас на последнем курсе, но мне всегда казалось, что я более-менее помню матан. До этой задачи.

Гугл выдает ссылки про теорию возмущений и примеры решений с диффурами, но я не понимаю, как применить это.

[Oleg Zubelevich]

Возможно вы не знаете, что при соответствующих дополнительных условиях и определениях множество ограниченных линейных операторов образует банахово пространство и данный ряд сходится по норме этого пространства

[vlad_light]

Разве там не нужно ряд на $\hat F ^{-1}$ домножить?
Я пользовался тем, что $\sum a^n=\frac {1}{1-a}, |a|<1$.

[ewert]

Raynor в сообщении #772958 писал(а):

Разложить оператор $(\hat{F}-\lambda\hat{G})^{-1}$ по степеням малого параметра $\lambda$.
Ответ: $(\hat{F}-\lambda\hat{G})^{-1}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}(\lambda\hat{F}^{-1}\hat{G})^n$.

Это просто неверно. Это даже "по размерностям" неверно, не говоря уж о прочем.

[Утундрий]

ewert в сообщении #773190 писал(а):

Это просто неверно. Это даже "по размерностям" неверно, не говоря уж о прочем.

Всего-то множитель потеряли...

$\[ \begin{gathered} F - \lambda G = F\left( {\delta - \lambda F^{ - 1} G} \right) \hfill \\ \left( {F - \lambda G} \right)^{ - 1} = \left( {\delta - \lambda F^{ - 1} G} \right)^{ - 1} F^{ - 1} = \sum\limits_{k = 0}^\infty {\left( {\lambda F^{ - 1} G} \right)^k F^{ - 1} } \hfill \\ \end{gathered} \]$