Квадратичная взаимность по Золотареву

[Whitaker]

Здравствуйте, дорогие друзья!

Пусть $a\in \mathbb{F}_p^{*}.$ Как связан $\left ( \frac{a}{p} \right )$ со знаком перестановки элементов множества $\mathbb{F}_p$ по правилу $x\mapsto ax?$

Моя попытка решения: Рассмотрим $\mathbb{F}_p$ в виде: $\left\{-\frac{p-1}{2}, \dots, -1, 1, \dots, \frac{p-1}{2}\right\}$. Подействуем отображением $x\mapsto ax$. Тогда получим:

$$\left\{-\dfrac{a(p-1)}{2}, \dots, -a, a, \dots, \dfrac{a(p-1)}{2}\right\}.$$

Редуцируем по модулю $p$ и получаем:

$$\left\{-\varepsilon_s r_s, \dots, -\varepsilon_1 r_1, \varepsilon_1 r_1, \dots, \varepsilon_s r_s \right\},$$

где $\varepsilon_i\in \{-1, 1\}, s=\dfrac{p-1}{2}$ и $r_i\in \{1, 2, \dots, \frac{p-1}{2}\}.$ Так как $ai\equiv \varepsilon_i r_i \pmod{p}$ для $i=\overline{1,s}$. Перемножая почленно сравнения эти получаем: $s!a^s\equiv \varepsilon_1\dots \varepsilon_s r_1 \dots r_s \pmod{p}$, но так как $r_1 \dots r_s=s!$ и еще $\left ( \frac{a}{p} \right )\equiv a^{\frac{p-1}{2}}$. Тогда получаем, что:

$$\left ( \frac{a}{p} \right )=\varepsilon_1\dots \varepsilon_s=(-1)^t,$$

где $t$ - количество отрицательных среди $\varepsilon_i$. Верно ли я решил? Или тут нужно что-то другое?

[nnosipov]

Посмотрите статью Прасолова "Доказательство квадратичного закона взаимности по Золотарёву" (Математическое просвещение, вып. 4).

[Whitaker]

nnosipov
Спасибо большое! Нашел!
Возник один вопрос по нему. Разрешите спросить его.
Рассматривают многочлен $A(x_1, \dots, x_m)=\prod \limits_{1\leqslant i<j\leqslant m}(x_i-x_j)$
Под действием четной перестановки многочлен не меняется, а при действии нечетной перестановки он меняет знак. Что это значит? И почему это так?

[Sonic86]

Whitaker в сообщении #772889 писал(а):

Под действием четной перестановки многочлен не меняется, а при действии нечетной перестановки он меняет знак. ... И почему это так?

Любая подстановка раскладывается в произведение независимых транспозиций $(ij)$, $A((ij)(x_1,...,x_n))=-A(x_1,...,x_n)$, откуда все следует.
Этот многочлен встречается в книжках часто и вроде как дискриминантом называется.

[nnosipov]

Sonic86 в сообщении #772891 писал(а):

Этот многочлен встречается в книжках часто и вроде как дискриминантом называется.

Точнее, квадрат этого многочлена есть дискриминант.