Вопрос по группам

[Phoenix]

Требование, чтобы каждый элемент группы мог быть получен в результате групповой операции над другими элементами группы входит в определение понятия группа...
открываем учебник по линалу (Jänich//Lineare Algebra)...
Группа - непустое множество М, такое, что выполняется
1) $\forall a,b\in M\colon a$\circ$b$\in M\ --- замкнутость, относительно операции $\circ$, формально, ведь всегда можно положить a=е (см. пункт 3)
2) $\forall a,b,c\in M\colon (a$\circ$b$)$\circ$c$=$a$\circ$($b$\circ$c$) --- закон ассоциативности,
3) $\exists e\in M\:\forall a\in M\colon e$\circ$a$=$a$\circ$e=$a$ --- наличие двусторонней единицы,
4) $\forall a\in M\exists a^{-1}\colon a^{-1}\circ a= a\circ a^{-1} = e$ --- существование обратного элемента.

Если выкинуть 4) пункт, то, как было сказано выше, получим полугруппу с единицей...

[Capella]

В условиях подразумевалось наличие обратного для каждого элемента (является так-же непременным условием для групповых аксиом, находит применение, например, в определнии подгруппы)...
Вообще, похоже просто спрашиволось, как я поняла , если группа задана аксиомами группы, то задают ли аксиомы группы само понятие группу. И ответ похоже должен быть "да", хотя сам вопрос несколко... эээ... нестандартен, что-ли

[temp]

Freude писал(а):

Если в определении группы, заменить требование существования обратного элемента, на требование, чтобы каждый элемент группы мог быть получен в результате групповой операции над другими элементами группы? Тогда единичный элемент должен получаться как результат умножения, то есть предполагается наличие обратного.

Мне не очевидно. Докажите.

Прошу прощения, не дописал. Предполагается наличие обратного для хотя бы одного элемента, иначе откуда возьмется единичный элемент?

Capella писал(а):

Вообще, похоже просто спрашиволось, как я поняла , если группа задана аксиомами группы, то задают ли аксиомы группы само понятие группу. И ответ похоже должен быть "да", хотя сам вопрос несколко... эээ... нестандартен, что-ли

Вообще имелось ввиду, будет ли определение группы эквивалентно, при замене аксиомы существования обратного элемента на другую (получение каждого элемента множества из других при применении групповой операции). PAV на вопрос ответил:

PAV писал(а):

Возможно, обратный тогда будет не у любого элемента группы. Возьмите, например, множество всех квадратных матриц заданного размера n x n. Те из них, которые обратимы, дают единичную, а те, которые вырожденные - нет.

То есть, существуют множества, где единичный элемент существует, но обратный элемент существует не для всех. А любая квадратная матрица может быть получена из таких же?

[PAV]

temp писал(а):

То есть, существуют множества, где единичный элемент существует, но обратный элемент существует не для всех. А любая квадратная матрица может быть получена из таких же?

Во-первых, так как единичная матрица уже существует, то любую матрицу можно представить как произведение ее саму на единичную. Явно это вырожденное представление, но пока что никто нам его не запрещает.

Кроме того, поскольку в наше множество входят невырожденные матрицы, то любую матрицу A можно всегда представить в виде A=(AB)C, где B - невырождена, С - обратная к В.

Если же хочется представить вырожденную матрицу А в виде произведения вырожденных матриц, то очевидного представления я сходу не нахожу, но принципиально не вижу и никаких сложностей к нему.

[temp]

Спасибо, понял.

[Dan_Te]

Цитата:

Если же хочется представить вырожденную матрицу А в виде произведения вырожденных матриц, то очевидного представления я сходу не нахожу, но принципиально не вижу и никаких сложностей к нему.

Можно попробовать так: если квадратная матрица А вырождена, то она переводит все пространство в подпространство L меньшей размерности, обнуляя собственные векторы. Поэтому, если мы домножим ее на матрицу В - ортогональный проектор на пространство L, - то будет верно А=АВ=ВА
Ну и в том же духе можно умножать на всякие повороты пространства L и обратные к ним.