2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Вопрос по группам
Сообщение20.01.2006, 11:26 


01/01/06
35
Может глупость спрашиваю, так-что не ругайтесь, пожалуйста. Если в определении группы, заменить требование существования обратного элемента, на требование, чтобы каждый элемент группы мог быть получен в результате групповой операции над другими элементами группы? Тогда единичный элемент должен получаться как результат умножения, то есть предполагается наличие обратного. Или это не предполагает обратный элемент для каждого элемента группы? Еще раз извиняюсь, если сморозил глупость.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.01.2006, 11:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3665
такое не прокатит хотя бы по следующей причине:
из условия разложимости не следует, что для каждогоэлемента найдется предсталение вида e=a*a^{-1}

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по группам
Сообщение20.01.2006, 11:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/10/05
1142
temp писал(а):
Может глупость спрашиваю, так-что не ругайтесь, пожалуйста. Если в определении группы, заменить требование существования обратного элемента, на требование, чтобы каждый элемент группы мог быть получен в результате групповой операции над другими элементами группы? Тогда единичный элемент должен получаться как результат умножения, то есть предполагается наличие обратного. Или это не предполагает обратный элемент для каждого элемента группы? Еще раз извиняюсь, если сморозил глупость.


Kazhdaja gruppa dolzhna imet' neitral'nyi otnositel'no operazij gruppy element, kotoryi mozhno poluchit', lish umnozhiv kakoj-libo element na svoj obratnyi. Poetomu nalichie etogo elementa podrazumevaetsya v gruppe.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.01.2006, 12:16 


01/01/06
35
А есть какие-нибудь примеры множеств, чтобы был единичный элемент, соблюдались вышеперечисленные условия, но множество группой не являлось.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.01.2006, 16:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/10/05
236
temp писал(а):
А есть какие-нибудь примеры множеств, чтобы был единичный элемент, соблюдались вышеперечисленные условия, но множество группой не являлось.

Так если единица есть и под вышеперечисленными Вы имеете ввиду:
  • ассоциативность введенной в множестве операции
  • сущестование обратного для каждого елемента

то все аксиомы группы "на лицо".

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопрос по группам
Сообщение20.01.2006, 16:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/01/06
1037
Если в определении группы, заменить требование существования обратного элемента, на требование, чтобы каждый элемент группы мог быть получен в результате групповой операции над другими элементами группы? Тогда единичный элемент должен получаться как результат умножения, то есть предполагается наличие обратного.

Мне не очевидно. Докажите.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.01.2006, 16:56 
Супермодератор
Аватара пользователя


29/07/05
8248
Москва
Возможно, обратный тогда будет не у любого элемента группы. Возьмите, например, множество всех квадратных матриц заданного размера n x n. Те из них, которые обратимы, дают единичную, а те, которые вырожденные - нет. Я верно понял вопрос?

 Профиль  
                  
 
 fg
Сообщение20.01.2006, 17:38 


12/12/05
61
всё равно тогда все матрицы nxn будут группой относительно сложения

 Профиль  
                  
 
 Давайте разберемся
Сообщение20.01.2006, 18:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/05
286
Множество $M$ c заданной на нем бинарной операцией $ называется моноидом если
1) $\forall x,y,z\in M\colon (xy)z = x(yz)$ --- ассоциативность.
2) $\exists e\in M\:\forall x\in M\colon ex=xe = x$ --- наличие двусторонней единицы.

Очевидно, что любой элемент моноида $x$ может быть представлен в виде $x = ab$, где $a$ и $b$ некотрые элементы из $M$ (достаточно взять $a=e$ и $b=x$).

Существуют моноиды не являющиеся группами. Например множество натуралных чисел с нулем $\mathbb N_0$ есть моноид, но не группа относительно обычного сложения.

Если же к условиям 1) и 2) добавить
3)$\forall x,y\in M\:\exists z\in M\colon x=zy$ --- левое деление,
то получившийся набор аксиом будет эквивалентен обычной аксиоматике групп.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.01.2006, 18:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/10/05
1142
to lofar

Не совсем понятна Ваша формулировка: Вы вводите понятие моноида относительно операции умножения, но множество натуральных чисел $ \mathbb N_0 $ рассматриваете относительно уже другой операции - сложения. Хотя группа должна быть определена какой-либо одной операцией (будь то сложение, умножение, поворот, отображение и т.д.) (не путать с кольцом (по моему моноид - это частный случай кольца, но, ох, не уверена, надо посмотреть), у которого действительно две операции).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.01.2006, 19:05 
Экс-модератор


12/06/05
1595
MSU
"Умножение" (групповая операция, если быть более точным) в определении группы - это любая ассоциативная операция. Например, обычное умножение чисел, умножение матриц, сложение чисел, сложение матриц, композиция отображений, и т.п. В данном случае роль "умножения" в N_0 играет сложение чисел.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.01.2006, 19:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/10/05
1142
Dan_Te писал(а):
Умножение = групповая операция


А, так теперь понятно 8-)

 Профиль  
                  
 
 Ответ для Capella
Сообщение20.01.2006, 19:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/05
286
Сам знак операции не важен. Можно использовать знак $*$, тогда, к примеру, закон ассоциативности будет выглядеть так $\forall x,y,z\in M\colon x*(y*z) = (x*y)*z$. Иногда еще используют значек $\circ$.

С точки зрения алгебры знак опереации несущественен, важны лишь соотношения между элементами. Например, На множестве вещественных чисел можно ввести операцию $\star$положив $x\star y = \sin(x+y)\sqrt{|x-y|}+1234\pi$. Алгебраиста может интересовать вопрос о коммутативности, ассоциативности этой операции, но не вопрос о количестве угов у значка $\star$.

 Профиль  
                  
 
 Ответ для lofar
Сообщение20.01.2006, 19:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/10/05
1142
Понимаете, когда Вы ввели операцию "умножения" у меня естественно возникли ассоциации с конкретной операцией. Поэтому отсюда и возник вопрос. Кстати, моноид, похоже всё равно не соотвествует формулировке вопроса, т.к. вопрос звучал: выполняются ли все вышеперечисленные требования, в том числе это: $ a * a^{-1} = e $, а получить инвеpсионный элемент относительно операции сложения в $ \mathbb N_0 $ похоже не удастся, отсюда не выполнено одно из условий задачи.

добавленно
Моноид это полугруппа

 Профиль  
                  
 
 Ответ для Capella
Сообщение20.01.2006, 20:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/05
286
Насколько я понял под "вышеперечисленнными требованиями" подразумевалось следующее
1) ассоциативность
2) существование двусторонней единицы
3) условие $\forall x\in M\:\exists y,z\in M\colon x=yz$.
Все это верно для моноидов (и только для них).
Единица $e$ может быть представлена в виде произведения так $e=ee$.


Моноид это полугруппа с единицей :)


Впрочем, может быть я чего-то не понимаю...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 21 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group