Множество

c заданной на нем бинарной операцией

называется
моноидом если
1)

--- ассоциативность.
2)

--- наличие двусторонней единицы.
Очевидно, что любой элемент моноида

может быть представлен в виде

, где

и

некотрые элементы из

(достаточно взять

и

).
Существуют моноиды не являющиеся группами. Например множество натуралных чисел с нулем

есть моноид, но не группа относительно обычного сложения.
Если же к условиям 1) и 2) добавить
3)

--- левое деление,
то получившийся набор аксиом будет эквивалентен обычной аксиоматике групп.