В определении абелевой группы отказаться от ассоциативности

[Alexey Rodionov]

Можно ли в определении конечной абелевой группы отказаться от ассоциативности?

[Urnwestek]

Можно; только получившейся результат будет не абелевым и не группой. Эта штука называется "коммутативной квазигруппой" и как объект для исследования она не особо интересна.

[Alexey Rodionov]

Спасибо. Где взять примеры конечных абелевых квазигрупп?

[Urnwestek]

Любая группа — автоматически квазигруппа. Рандомная симметричная таблица умножения скорее всего не будет ассоциативной.
Например
$\forall x( 1x = x )$
$aa=bb=cc=1$
$ba=ab=a$
$ca=ac=c$
$cb=bc=b$

Тогда $(ab)c = ac = c$ но $a(bc) = ab = a$

[AV_77]

Только это не квазигруппа - уравнение $ax = a$ имеет два решения. Лучше такую операцию взять
$\begin{array}{c|cccc} & 1 & a & b & c \\ \hline 1 & 1 & a & b & c \\ a & a & c & 1 & b \\ b & b & 1 & c & a \\ c & c & b & a & 1 \end{array}$

[Urnwestek]

Да, конечно, это лупа. Я везде имел в виду лупы, чуть запутался в терминах.

[AV_77]

В квазигруппе уравнения $ax = b$ и $xa = b$ должны иметь единственное решение при любых $a, b$. Лупа - это квазигруппа с единицей.

Alexey Rodionov в сообщении #772117 писал(а):

абелевых квазигрупп

Кстати, насколько я знаю, абелевыми принято называть только группы. Все остальные структуры - просто коммутативные.

[Urnwestek]

И правда... Впредь буду тщательнее следить за тем, что говорю.

[bot]

Urnwestek в сообщении #772171 писал(а):

Да, конечно, это лупа.

Не обязательно. Это зависит от того в каких терминах группу задавать.

Например группу можно определить в терминах одной операции (назовём её умножением), потребовав вуполнения условий:
1) Умножение ассоциативно
2) Для любых $a$ и $b$ разрешимы уравнения $ax=b$ и $ya=b$
3) Законы сокращения $zx=zy \Rightarrow x=y$ и $xz=yz \Rightarrow x=y$
Если здесь вычеркнуть ассоциативность, то получим определение квазигруппы, в котором единицы может и не быть. Например, на трёхэлементном множестве $\{a, b, c\}$ зададим умножение по правилу произведение двух различных элементов есть оставшийся, а квадрат каждого есть он сам.

Можно группу задать в терминах трёх операций - умножения и двух делений (левого и правого)
1) Ассоциативность умножения
2) $(xy)/y= x = y\setminus(y x)$
3) $(x/y)y= x = y(y\setminus x)$
Здесь опять отказ от ассоциативности приведёт к квазигруппе. Чтобы получилась лупа существование единицы надо постулировать.

Можно в терминах четырёх операций - умножения, левого и правого обращения ($x\to ^{-1}x$ и $x\to x^{-1}$) и выделения единицы $e$:
1) Ассоциативность умножения
2) $ex=x=xe$
3) $(xy)y^{-1}=x= ^{-1}y(yx)$
4) $(xy^{-1})y=x=y(^{-1}yx)$
Здесь отказ от ассоциативности ведёт к лупе и не просто к лупе, а к $IP$-лупе - лупе с обращениями.

Ну и ещё много как группу можно задавать.

-- Вт окт 08, 2013 10:32:14 --

Да там абелевы группы были - ну абелевость здесь мало что меняет.

[VAL]

Alexey Rodionov в сообщении #772117 писал(а):

Спасибо. Где взять примеры конечных абелевых квазигрупп?

Коммутативные квазигруппы можно получать, например, из систем троек Штейнера. В штейнеровской квазигруппе каждый элемент - идемпотент, а для каждой пары элементов $a, b$ найдется третий элемент $c$, такой что $ab=ba=c, ac=ca=b, bc=cb=a$.
Штейнеровские квазигруппы из $n$ элементов существуют для всех $n$, сравнимых с 1 лии 3 по модулю 6. Начиная с $n=13$ существуют неизоморфные штейнеровские квазигруппы.
Подробности можно посмотреть в книжке Холла "Комбинаторика".

Многочисленные примеры квазигрупп (как коммутативных, так и некоммутативных) есть в книжке Белоусова "Введение в теорию квазигрупп и луп".

[Alexey Rodionov]

Большое спасибо. Пока все понятно.