Условный экстремум

[TelmanStud]

Доброго дня!
Помогите пожалуйста разобраться
1. Допустим мы ищем условный экстремум функции $z=f(x,y)$ со связью $\varphi(x,y)=0$
Что тут понимать под условным экстремумом. Это какая то точка из линии $\varphi(x,y)=0$ при которой $f(x,y)$ просто достигает своего экстремального значения(при этом как я понимаю не обязательно $ \operatorname{grad}f(x,y)=0$) или это какой то обычный экстремум $f(x,y)$ (без связи), который должен лежать(если повезет) на линии $\varphi(x,y)=0$.
2. И никак не могу разобраться геометрической интерпретацией метода множителей Лагранжа через изолинии.

[provincialka]

1. Первое понимание: значение, наибольшее/наименьшее на кривой (в окрестности данной точки).

2. Метод множителей Лагранжа показывает, что градиент функции в подозрительной точке сонаправлен с вектором из производных от $\varphi$, то есть перпендикулярен самой линии. Но он же перпендикулярен линиям уровня, значит ...

[gris]

Функция это поверхность в трёхмерном пространстве. А связь это линия на плоскости аргументов. Мы от этой линии вверх строим цилиндр. Он пересекает нашу поверхность по какой-то уже трёхмерной линии, вырезает из неё эту линию. Но она уже может быть и не плоской, как связь. Связь — это проекция линии пересечения на плоскость аргументов. А пространственная линия то ниже, то выше. И в хороших случаях, когда всё гладко, и она в какой-то точке имеет экстремум, то мы можем через эту точку провести горизонтальную плоскость. Её пересечение с нашей поверхностью будет линией уровня. Ну это как бы визуально.

[TelmanStud]

${\varphi_x,\varphi_y}$ это вектор касательной для $\varphi(x,y)=0$?

[Yu_K]

TelmanStud в сообщении #772412 писал(а):

${\varphi_x,\varphi_y}$ это вектор касательной для $\varphi(x,y)=0$?

Возьмите окружность $\varphi(x,y)=x^2+y^2-1$ и сразу станет ясно, что это за вектор.

[provincialka]

TelmanStud в сообщении #772412 писал(а):

${\varphi_x,\varphi_y}$ это вектор касательной для $\varphi(x,y)=0$?

Я же написала вам, что это такое, в первом ответе...

[TelmanStud]

provincialka
Ну тогда из ваших слов вытекает, что кривая $\varphi$ касается изолинии в точке экстремума, но тогда я не воображу как метод Лагранжа должен справится
вот с таким случаем
$\min f(x,y)$
$f(x,y)=x^2$
со связью
$\varphi(x,y)=x^2+y^2-R^2$
Ведь касания не будет!

[provincialka]

Видимо, это особая точка. Может, потому, что экстремум нестрогий.

[TelmanStud]

provincialka
Но минимумы же не там!

Как же найти подозрительные точки

[provincialka]

TelmanStud в сообщении #772554 писал(а):

provincialka
Но минимумы же не там!

Да, я сначала не заметила, что вы спрашиваете именно про минимум. Исправила. Сейчас еще подумаю. Но формально в этих точках градиент функции равен нулевому вектору, поэтому направление его не определено.

Формальный подсчет дает, что градиент к функции $f$ пропорционален нормали в кривой-условию. Но коэффициент этой пропорциональности может быть равен 0. что и вышло в вашем примере.

[TelmanStud]

Спасибо разобрался