Задача по теории вероятности (нормальное приближение)

[santa]

Масса ягод является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с а= 15 г и средним квадратич. отклонением 0,03 г. Ягоды с массой от 12 до 20 г относятся к средней категории, с массой более 20 г - к высшей. Определить: а)проценты ягод средней и высшей категории; б) величину, которую не превзойдет масса ягод с вероятностью 0,95.

Я застопорилась в самом начале: Р(12<x<20)=Ф(20-15)/0,03)-Ф(12-15)/0,03)=Ф(166,67)+Ф(100)=?

Пытаюсь разбираться самостоятельно, только эту задачу не могу решить из всей контрольной. Заранее всем большое спасибо за помощь.

[venja]

santa писал(а):

Масса ягод является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с а= 15 г и средним квадратич. отклонением 0,03 г. Ягоды с массой от 12 до 20 г относятся к средней категории, с массой более 20 г - к высшей. Определить: а)проценты ягод средней и высшей категории; б) величину, которую не превзойдет масса ягод с вероятностью 0,95.

Я застопорилась в самом начале: Р(12<x<20)=Ф(20-15)/0,03)-Ф(12-15)/0,03)=Ф(166,67)+Ф(100)=?

Пытаюсь разбираться самостоятельно, только эту задачу не могу решить из всей контрольной. Заранее всем большое спасибо за помощь.

Что-то среднее квадратич. отклонение у Вас очень мало. Получается, что все ягоды практически одного размера. Поэтому и получилось
Р(12<x<20)=Ф(20-15)/0,03)-Ф(12-15)/0,03)=Ф(166,67)+Ф(100)=1/2+1/2=1 (точнее, 0.99999....).
Я и раньше встречал такие формулировки, они меня всегда смущали. Ну не может масса ягод быть распределенной по нормальному закону, поскольку принимает только положительные значения, а с.в., распределенная по норм. закону может принимать ЛЮБЫЕ значения.
По поводу второй задачи.
Надо найти числос из условия:
P(X<c)=0.95, т.е. F(c)=0.95
0.5+Ф0((c-a)/sigma)=0.95
Ф0((c-a)/sigma)=0.45
Теперь по таблице найдите аргумент Ф0, потом и с.

[PAV]

venja писал(а):

Ну не может масса ягод быть распределенной по нормальному закону, поскольку принимает только положительные значения, а с.в., распределенная по норм. закону может принимать ЛЮБЫЕ значения.

Если так рассуждать, то нормальное распределение будет неприменимо ни к каким величинам, с которыми люди имеют дело, потому что они все ограничены. Более того, строго говоря люди имеют дело только с дискретными величинами (поскольку все измерения проводятся с определенной точностью), поэтому вместе с нормальным следует отбросить и вообще все непрерывные распределения, оставив только дискретные.

На самом деле, в качестве приближенной модели - нормальное распределение наверняка тут будет хорошо подходить. Просто сигма должна быть такой, чтобы значения, близкие к нулю (и отрицательные) были бы настолько маловероятны, что их можно отбросить совершенно без влияния на конечный результат.

По поводу же исходной задачи все совершенно верно - тут среднеквадратичное отклонение настолько мало, что практически с вероятностью единица все ягоды попадают в среднюю категорию. Помните правило "трех сигм"? Вторую часть задачи, конечно же, можно решить (ровно так, как написал venja), но лучше бы сначала все-таки уточнить условие.

[venja]

PAV писал(а):

venja писал(а):

Ну не может масса ягод быть распределенной по нормальному закону, поскольку принимает только положительные значения, а с.в., распределенная по норм. закону может принимать ЛЮБЫЕ значения.

Если так рассуждать, то нормальное распределение будет неприменимо ни к каким величинам, с которыми люди имеют дело, потому что они все ограничены. Более того, строго говоря люди имеют дело только с дискретными величинами (поскольку все измерения проводятся с определенной точностью), поэтому вместе с нормальным следует отбросить и вообще все непрерывные распределения, оставив только дискретные.

На самом деле, в качестве приближенной модели - нормальное распределение наверняка тут будет хорошо подходить. Просто сигма должна быть такой, чтобы значения, близкие к нулю (и отрицательные) были бы настолько маловероятны, что их можно отбросить совершенно без влияния на конечный результат.

.

Спасибо за ответ. Интуитивно я себе так и представлял. Но, привыкнув за многие годы занятий математикой к точным формулировкам, чувствую дискомфорт в таких ситуациях. Все-таки в формулировки таких задач я бы включал слова типа "приближенно" или "можно считать,что".

[PAV]

venja писал(а):

Все-таки в формулировки таких задач я бы включал слова типа "приближенно" или "можно считать,что".

Иногда так и делают. Но это всегда подразумевается.