Структура пустого множества

[rnf]

Согласно определению, множество — это совокупность элементов. Отсюда следует, что понятие "пустое множество" либо не имеет смысла, либо определено неверно. Скорее всего второе, поскольку тогда парадокс Банаха-Тарского разрешается через признание неточности данного определения.

Итак, какова структура пустого множества?

[provincialka]

У понятия "множество" нет определения, только описание. Я, например, предпочитаю такое описание: "Каждый объект либо точно является элементом множества, либо точно не является." В таком понимании пустое множество - самое четко определенное: никакой элемент точно ему не принадлежит.

[Someone]

rnf в сообщении #771281 писал(а):

Согласно определению, множество — это совокупность элементов.

Нету такого определения, это просто некоторая наглядная модель. Совершенно не обязательная.

rnf в сообщении #771281 писал(а):

Отсюда следует, что понятие "пустое множество" либо не имеет смысла, либо определено неверно.

Доказательство предъявите. По правилам, принятым в математике. Иначе это брехня.

rnf в сообщении #771281 писал(а):

Скорее всего второе, поскольку тогда парадокс Банаха-Тарского разрешается через признание неточности данного определения.

Вообще-то, слово "парадокс" имеет несколько значений. В бытовом смысле это слово может означать неожиданное утверждение, противоречащее интуиции. Вот теорема Банаха — Тарского является "парадоксом" именно в этом смысле. Причём, лично вашей интуиции, основанной на бытовом опыте, эта теорема, может быть, и противоречит, а моей интуиции профессионального математика нисколько не противоречит, так что я никакого "парадокса" не вижу, как не вижу и нужды его "разрешать". Вдобавок я сильно подозреваю, что Вы путаете физические тела с геометрическими фигурами и их моделями в теории множеств.

В математике термин "парадокс" употребляется только в одном смысле и означает ситуацию, когда в математической теории выводится некоторое утверждение, и "одновременно" выводится отрицание этого утверждения. К теореме Банаха — Тарского это отношения не имеет, так как отрицание этой теоремы не выводится.

[rnf]

provincialka в сообщении #771295 писал(а):

У понятия "множество" нет определения, только описание.

Почему же? Определение есть, и оно вполне точное.

Более того, любой математический объект или утверждение имеет геометрическую интерпретацию. Изобразите мне пустое множество, пожалуйста.

Someone в сообщении #771332 писал(а):

Доказательство предъявите. По правилам, принятым в математике. Иначе это брехня.

Простите, доказательство чего? Множество — это совокупность элементов. Нет элементов, нет и множества.

Someone в сообщении #771332 писал(а):

Причём, лично вашей интуиции, основанной на бытовом опыте, эта теорема, может быть, и противоречит...

При чем тут моя интуиция и мой бытовой опыт? Ни в геометрии, ни в физике объекты нельзя размножать произвольным образом.

[iifat]

rnf в сообщении #771409 писал(а):

любой математический объект или утверждение имеет геометрическую интерпретацию

Смело. Свежо. Неожиданно. Весьма.

rnf в сообщении #771409 писал(а):

Изобразите мне пустое множество, пожалуйста

Легко. Даже не придётся вставать с дивана. Возьмите лист чистой бумаги. Я там давно уж, предвидя ваш вопрос, изобразил пустое множество.

[Deggial]

rnf, может быть Вам поможет разобраться аналогия между множествами и коробками?

rnf в сообщении #771409 писал(а):

Почему же? Определение есть, и оно вполне точное.

Нет его. Либо попробуйте его привести

[Someone]

rnf в сообщении #771409 писал(а):

Простите, доказательство чего? Множество — это совокупность элементов. Нет элементов, нет и множества.

Доказательство того, что

rnf в сообщении #771281 писал(а):

понятие "пустое множество" либо не имеет смысла, либо определено неверно.

В случае пустого множества элементов у него нет, но само множество есть.
Вон Deggial предлагает модель с коробками: множество — это коробка, в которой может что-то лежать. Пустая коробка — это пустое множество. Коробка есть, но в ней ничего не лежит.

rnf в сообщении #771409 писал(а):

При чем тут моя интуиция и мой бытовой опыт? Ни в геометрии, ни в физике объекты нельзя размножать произвольным образом.

Как сказать. Вон на ускорителях сталкивают частицы. В результате из двух столкнувшихся частиц получается целая куча. И среди этой кучи может быть много точно таких, которые сталкивались.

Вообще, я так и думал, что Вы путаете физические тела с геометрическими фигурами и с множествами. Между тем, все они имеют друг к другу довольно отдалённое отношение.

[rnf]

iifat в сообщении #771429 писал(а):

Смело. Свежо. Неожиданно. Весьма.

Напротив, это весьма банальное, риторическое утверждение.

Цитата:

Возьмите лист чистой бумаги. Я там давно уж, предвидя ваш вопрос, изобразил пустое множество.

К сожалению, лист чистой бумаги является объектом, и может содержать лишь некоторые множества, называемые "рисунками".

Цитата:

Нет его. Либо попробуйте его привести

Веселый троллинг, но давайте уже к теме.

Цитата:

Вон Deggial предлагает модель с коробками: множество — это коробка, в которой может что-то лежать. Пустая коробка — это пустое множество. Коробка есть, но в ней ничего не лежит.

Но коробка-то есть? Давайте поговорим о структуре коробки. Что вас смущает-то?

Даю подсказку — нельзя путать отсутствие с несуществованием. Куб может отсутствовать, плоскость с одной стороной не существует в принципе. Есть нуль, а есть null.

Цитата:

Вообще, я так и думал, что Вы путаете физические тела с геометрическими фигурами и с множествами.

Ничуть не путаю — вся математика напрямую отображается в геометрию (полностью) и в физику (частично).

[Urnwestek]

Цитата:

Напротив, это весьма банальное, риторическое утверждение.

Нет.

Цитата:

Ничуть не путаю — вся математика напрямую отображается в геометрию (полностью) и в физику (частично).

Нет.

Цитата:

Веселый троллинг, но давайте уже к теме.

Вы бы чуть более сдержаннее общались с людьми, которые во всём этом давно разобрались и тратят своё свободное время на то, чтобы объяснить это таким как вы.

[provincialka]

Хотите пустое множество в геометрии? Возьмите две прямые. Их пересечение - точка (вернее, множество из одной точки). Поворачиваем одну прямую до тех пор, пока она не станет параллельной второй прямой. При таком вращении пересечение превращается..., пересечение превращается..., в пустое множество!

И вообще, вы знаете, что такое определение? Это выделение класса объектов из более широкого при помощи указания свойств (параллелограмм -это четырехугольник, у которого...). И какое же понятие более общее, чем множество?

(Оффтоп)

я не говорю о теории классов, это понятие здесь не к месту

Что меня умиляет в авторе вопроса - это уверенность в себе. Сочинил какое-то нелепое "определение", видимо, решил создать собственную теорию множеств.

[Евгений Машеров]

(Оффтоп)

Наверно, надо предложить автору начать с выяснения структуры какого-то более простого объекта. Я бы предложил исследовать желток выеденного яйца...

[rnf]

provincialka в сообщении #771569 писал(а):

Хотите пустое множество в геометрии?

Не хочу :) ни одна геометрическая теорема не содержит понятия "пустоты" отдельно от фигуры, в которую она заключена. Например, еще никто на моей памяти не брался вычислить объем пирамиды, не зная длину стороны ее основания и высоту.

Более того, Лобачевский уже доказал невозможность построения параллельных прямых, а точнее — их несуществование. Нету их, как нет плоскостей с одной стороной.

Цитата:

Что меня умиляет в авторе вопроса - это уверенность в себе. Сочинил какое-то нелепое "определение".

Не разделяю вашего умиления. Множество определяется как совокупность элементов. Не моя проблема, что мифическое "пустое множество" этому определению не соответствует.

[Евгений Машеров]

rnf в сообщении #771879 писал(а):

Более того, Лобачевский уже доказал невозможность построения параллельных прямых, а точнее — их несуществование. Нету их, как нет плоскостей с одной стороной

[rnf]

Евгений Машеров в сообщении #771880 писал(а):

Евгений, не печальтесь. Параллельность прямых в евклидовой геометрии принимается на веру, равно как в математике — возможность построения новых чисел присчитыванием единицы.

[Otta]

rnf
Вы бы хоть Википедию прочитали, что ли, чего там доказал Лобачевский. Прежде чем Евгения утешать. Может, хоть усомнитесь. Слабая надежда, но все же.