Две задачи о стакане (Зорич V.1.3)

[Urnwestek]

Задача: Стакан с водой вращается вокруг своей оси с постоянной угловой скоростью $\omega$ пусть $y = f(x)$ — уравнение кривой, получающейся в сечении поверхности жидкости плоскостью, проходящей через ось вращения. Показать, что $f'(x) = \frac{\omega^2}{g} x$, где $g$ — ускорение свободного падения.

Решение:
1) Посмотрим на стакан "сверху" свяжем с ним декартову систему координат, ноль системы поместим в центр стакана. Выберем какую-нибудь точку $(x_0, y_0)$, пусть $r(t)$ — радиус вектор этой точки в момент времени t. Из смысла задачи понятно, что $f(r(t))$ — её высота.
2) Запишем закон сохранения энергии для неё $\frac{mv(t)^2}{2} + mgf(r(t)) = \operatorname{const}$
3) Продифференцировав по $dt$ получим: $v(t)a(t) + gf'(r(t))v(t) = 0$ или $f'(r(t)) = - \frac{a(t)}{g}$ (естественно считая, что $v(t) \ne 0$)
4) Вполне очевидно из смысла задачи, что точка движется центростремительно. А для такого движения $|a(t)| = \omega^2 |r(t)|$
5) Подставив получим: $|f'(r(t))| = \frac{\omega^2}{g} |r(t)|$
6) Cнова же, из смысла задачи очевидно, что точка $r(t)$ в любой момент времени находится на одинаковой высоте, поэтому имеет смысл рассматривать лишь функцию $|f'(r(0))| = |f'( (x_0,0) )| = |f'(x_0)|$, то есть $|f'(x_0)| = \frac{\omega^2}{g} |f(x_0)|$
7) Опять же из смысла задачи очевидна симметрия этой функции $f(x)$ относительно оси ординат. Поэтому теперь можно написать $f'(x_0) = \frac{\omega^2}{g} x_0$

Прошу проверить решение, так как кроме вас больше некому.

Перечитал, на первый взгляд смущает большое количество "из смысла задачи очевидно" — мест, где я не могу придумать достаточно строгое математическое обоснование и использование заокна сохранения для точки жидкости (правомерно ли?).

Буду благодарен за любой ответ.

[Oleg Zubelevich]

topic61849.html

[Urnwestek]

Oleg Zubelevich в сообщении #771527 писал(а):

topic61849.html

Спасибо, но там решение использует сложный (для меня) мат. аппарат гидростатики (тем не менее, попытаюсь сегодня в нём разобраться хотя бы на начальном уровне), мне же интересно: насколько правомерно рассуждать так, как рассуждаю я?
Кстати, вот ещё одно решение:

Так как $f(r(t)) = \operatorname{const}$ и $r(t)$ — центростремительное движение по окружности получаем

$$\frac{mv^2}{2} + mgf(r) = C$$

$$\frac{m\omega^2r^2}{2} + mgf(r) = C \text{ продифференцируем по } dr$$

$$\omega^2 r + gf'(r) = 0$$

$$f'(r) = - \frac{\omega^2 r}{g}$$

Но почему не совпал знак? Может я неправильно закон сохранения написал, или он тут не работает? Насколько я понял из вашей ссылки на тему, Munin говорил, что так делать неправомерно. Ну или я опять как всегда всё не так понял; в чём ошибка?

[kw_artem]

Urnwestek в сообщении #771500 писал(а):

Прошу проверить решение, так как кроме вас больше некому.

Идея решения верная, но само решение витиеватое, а местами может быть не совсем корректное. Очень хорошо, что Вы указали все важные моменты (в математическом смысле конечно) типа

Urnwestek в сообщении #771500 писал(а):

точка движется центростремительно

Urnwestek в сообщении #771500 писал(а):

точка $r(t)$ в любой момент времени находится на одинаковой высоте

Urnwestek в сообщении #771500 писал(а):

имметрия этой функции $f(x)$ относительно оси ординат

Но если бы Вы рассмотрели их в самом начале решения, то возможно Ваше решение заметно упростилось бы (ну по крайней мере вид сверху стал бы ненужным, и радиус вектор $r(t)$ тоже).На счет корректности, например, здесь:

Urnwestek в сообщении #771500 писал(а):

2) Запишем закон сохранения энергии для неё $\frac{mv(t)^2}{2} + mgf(r(t)) = \operatorname{const}$
3) Продифференцировав по $dt$ получим: $v(t)a(t) + gf'(r(t))v(t) = 0$ или $f'(r(t)) = - \frac{a(t)}{g}$ (естественно считая, что $v(t) \ne 0$)

если под $v(t), a(t), f(t), f'(t)$ Вы понимаете векторы, то последние два указанных уравнения вообще теряют смысл.

[Urnwestek]

Огромное спасибо за ответ!

kw_artem в сообщении #771685 писал(а):

если под $v(t), a(t), f(t), f'(t)$ Вы понимаете векторы, то последние два указанных уравнения вообще теряют смысл.

Да, конечно, нужно заменить на модули.

Теперь я сам своего решения немного не понмиаю. Под всей этой витиеватостью я скрыл (и от самого себя в том числе) очевидную несостыковку

Цитата:

$$f'(r) = - \frac{a}{g}$$

Так как $r$ и $a$ — модули, то они положительны. А значит, производная отрицательна, что означает, что в центре стакана находится самая высокая точка. Откуда эта несостыковка?

[kw_artem]

Отсюда: если $v(t)$ -- модуль, то $a(t)=0$, т.к. модуль скорости постоянен.

-- 06.10.2013, 23:34 --

Но лучше, мне кажется, решать, не пользуясь законом сохранения энергии.

[Urnwestek]

kw_artem в сообщении #771708 писал(а):

Отсюда: если $v(t)$ -- модуль, то $a(t)=0$, т.к. модуль скорости постоянен.

Действительно... Получается ничего я не доказал. А что вы можете скажете о доказательстве двумя постами ниже? Там $r = |r(t)|$, $v = |v(t)|$ и используется равенство $v^2 = r^2 \omega^2$ и всё равно тот же самый минус вылазит.

kw_artem в сообщении #771708 писал(а):

Но лучше, мне кажется, решать, не пользуясь законом сохранения энергии.

А как? Можете наводку дать? Так, как решал Утундрий?

[kw_artem]

Urnwestek в сообщении #771712 писал(а):

А как? Можете наводку дать? Так, как решал Утундрий?

Взять любую точку на поверхности жидкости и рассмотреть достаточно малую окрестность поверхности. Ну и вспомнить как геометрически относятся друг к другу поверхность воды в спокойном состоянии (в невращающемся сосуде, иными словами, в инерциальной системе) в поле тяжести Земли и вектор $\overrightarrow{g}$.

[Urnwestek]

Цитата:

Взять любую точку на поверхности жидкости и рассмотреть достаточно малую окрестность поверхности. Ну и вспомнить как геометрически относятся друг к другу поверхность воды в спокойном состоянии (в невращающемся сосуде, иными словами, в инерциальной системе) в поле тяжести Земли и вектор $\overrightarrow{g}$.

Спасибо вам, я подумаю.

[kw_artem]

Urnwestek в сообщении #771712 писал(а):

А что вы можете скажете о доказательстве двумя постами ниже? Там $r = |r(t)|$, $v = |v(t)|$ и используется равенство $v^2 = r^2 \omega^2$ и всё равно тот же самый минус вылазит.

Дело в том, что там у Вас в выкладках константа $C(r)$ -- это полная энергия элемента жидкости на поверхности. И с увеличением расстояния от оси она тоже растет. Т.е. в первом варианте решения Вы рассматривали полную энергию для элемента жидкости и интересовались (дифференцировали по $t$) как она изменяется с течением времени; она не изменялась. Здесь же Вы интересуетесь, как энергия изменяется с изменением $r$; она не постоянна.

[Urnwestek]

Цитата:

Дело в том, что там у Вас в выкладках константа $C(r)$ -- это полная энергия элемента жидкости на поверхности. И с увеличением расстояния от оси она тоже растет. Т.е. в первом варианте решения Вы рассматривали полную энергию для элемента жидкости и интересовались (дифференцировали по $t$) как она изменяется с течением времени; она не изменялась. Здесь же Вы интересуетесь, как энергия изменяется с изменением $r$; она не постоянна.

Спасибо, очень наглядное объяснение.

Я обдумал ваши указания и вот к чему пришёл:

0) Все точки поверхности будут рассматриваться лишь на срезе поверхности плоскостью, проходящей через ось вращения (на графике функции f). И будет рассматриваться лишь та часть графика, что имеет неотрицательные абциссы.
1) Рассмотрим какую-нибудь точку $(x_0, f(x_0))$ на поверхности, она испытывает центростремительное ускорение, направленное строго влево и равное $(-\omega^2 x_0, 0)$
2) Это ускорение есть сумма ускорения свободного падения $(0,-g)$ и поправочного вектора $(p,q)$
3) Поправочный вектор перпендикулярен касательной в точке $(x_0,f(x_0))$

Найдём поправочный вектор из уравнения $(0,-g)+(p,q)=(-\omega^2 x_0, 0)$ отсюда $(p,q)= (-\omega^2 x_0, g)$;
Повернём его на 90 градусов по часовой стрелке $(-\omega^2 x_0,g) \rightarrow (g,\omega^2 x_0)$ теперь он параллелен касательной;
Найдём тангенс угла, который образует этот вектор с осью абцисс это и будет производной $\frac{\omega^2 x_0}{g}$;

В этом решении меня сильно не устраивает предпосылка под номером 3. Я так решил, лишь немного порисовав, но я не смог это математически обосновать и до конца понять. Можно ли как-то это сделать? Буду благодарен за ответ.

[kw_artem]

Urnwestek в сообщении #771778 писал(а):

В этом решении меня сильно не устраивает предпосылка под номером 3. Я так решил, лишь немного порисовав, но я не смог это математически обосновать и до конца понять. Можно ли как-то это сделать? Буду благодарен за ответ.

Данный пункт имеет больше физическое обоснование. Поправочный вектор не что иное как ускорение, испытываемое рассматриваемым элементом, возникающее под силовым воздействием (давлением) соседних элементов. Все они (элементы) находятся в почти одинаковых условиях: т.к. мы их рассматриваем в непосредственной близости от данного элемента, то центростремительное ускорение слабо меняется в их пределах. Поэтому их воздействия на наш элемент вдоль поверхности жидкости (что тоже самое: вдоль касательной к поверхности в данной точке) компенсируются, остаётся только нормальная составляющая, роль которой играет Ваш поправочный вектор.

-- 07.10.2013, 12:50 --

Если хотите или непонятно, то могу и поподробнее написать.

[Urnwestek]

Спасибо, теперь всё понятно.

Цитата:

Если хотите или непонятно, то могу и поподробнее написать.

Было бы интересно почитать.

[kw_artem]

Urnwestek в сообщении #771995 писал(а):

Было бы интересно почитать.

Свяжем систему отсчета с рассматриваемым элементом жидкости на поверхности. Эта система будет неинерциальной. Чтобы можно было обращаться с ней как с инерциальной и использовать в ней второй закон Ньютона(тот что $\overrightarrow{F}=m\overrightarrow{a}$), введем дополнительную силу -- силу инерции, которая по модулю равна центростремительной, но противоположна ей. Таким образом на элемент жидкости действуют сила тяжести, сила инерции, а также сила со стороны соседних элементов. Т.к. рассматривается очень малая окрестность поверхности воды, то первые две силы слабо меняются. Поэтому и их сумма тоже почти постоянна, и в первом приближении можно считать, что наш элемент и соседние с ним элементы находятся в однородном фиктивном поле (так как если бы они находились в обычном поле тяжести, но направленном в сторону суммы этих двух векторов). По этой же причине и поверхность в рассматриваемой окрестности элемента в первом приближении будет плоской. Ну, а т.к. по условию построения системы отсчета и условию задачи данный элемент должен находится в равновесии, то сила, оказываемая соседними элементами, должна уравновешивать сумму тех двух сил, кстати, которая направлена перпендикулярно к поверхности воды в данной точке. Иными словами Ваш поправочный вектор обязательно перпендикулярен касательной, проведённой к поверхности жидкости в данной точке.

Ну, надеюсь, удачно расписал. Если есть непонятные моменты, спрашивайте.

[мат-ламер]

Всё правильно, но сильно умно написано. Ясно, что поверхность жидкости перпендикулярна силе тяжести (в т. ч. и искусственной, т.е. с учётом поправки на вращение). А силы, действующие сбоку уравновешиваются, иначе было бы движение жидкости.