равномерная интегрируемость сл. величин

[ecartman]

Здравствуйте, интересует следующий вопрос: известно, что для сходимости последовательности сл. величин $\{\xi_n\}_{n\ge1}$ к сл. величине $\xi$ в смысле $L_1$ необходимо и достаточно чтобы последовательность $\{\xi_n\}_{n\ge1}$ сходилась к $\xi$ по вероятности и чтобы $\{\xi_n\}_{n\ge1}$ была равномерно интегрируема, т.е. обладала бы свойством:

$$ \sup_n E[|\xi_n|;|\xi_n|\ge c]\to0 $$

при $c\to\infty$.

Из $L_1$ сходимости как известно следует сходимость по вероятности. Пытаюсь показать что из $L_1$ сходимости следует равномерная интегрируемость.

$$ |\xi_n|-|\xi|\le|\xi_n-\xi|\;\Rightarrow\; E[|\xi_n|;|\xi_n|>c]-E[|\xi|;|\xi_n|>c]\le E[|\xi_n|]-E[|\xi|]\le E[|\xi_n-\xi|]. $$

откуда получается что $E[|\xi_n|;|\xi_n|>c]\le E[|\xi|;|\xi_n|>c]+ E[|\xi_n-\xi|].$ Второй член справа можно сделать сколь угода малым. Не могу сообразить как уменьшить первый член справа. Нужно использовать что $\xi$ и $\xi_n$ принадлежат $L_1$ но не соображу как именно? Заранее спасибо за помощь.

[--mS--]

Множество $\{|\xi_n|>c\}$ можно вложить в множество

$$\{|\xi_n|>c\}=\{|\xi_n-\xi+\xi|>c\}\subseteq \{|\xi_n-\xi|+|\xi|>c\}\subseteq \{|\xi_n-\xi|>1\}\cup\{|\xi|>c-1\},$$

поэтому

$$\mathsf E(|\xi|; \, |\xi_n|>c)\leqslant \mathsf E(|\xi|;\, |\xi_n-\xi|>1)+\mathsf E(|\xi|;\, |\xi|>c-1).$$

В правой части второе слагаемое с ростом $c$ стремится к нулю, в первом слагаемом интеграл по множеству, вероятность которого стремится к нулю. Можно и дальше пойти, и разбить первое слагаемое на

$$\mathsf E(|\xi|;\, |\xi_n-\xi|>1) = \mathsf E(|\xi|;\, |\xi_n-\xi|>1, \, |\xi|>K)+\mathsf E(|\xi|;\, |\xi_n-\xi|>1, \, |\xi|\leqslant K)\leqslant $$ $$\leqslant\mathsf E(|\xi|;\, |\xi|>K) + K\mathsf P(|\xi_n-\xi|>1).$$

[ecartman]

Ок, спасибо.