Здравствуйте, интересует следующий вопрос: известно, что для сходимости последовательности сл. величин

к сл. величине

в смысле

необходимо и достаточно чтобы последовательность

сходилась к

по вероятности и чтобы

была равномерно интегрируема, т.е. обладала бы свойством:
![$$
\sup_n E[|\xi_n|;|\xi_n|\ge c]\to0
$$ $$
\sup_n E[|\xi_n|;|\xi_n|\ge c]\to0
$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/e/b/bebe93930445c6664b25831fcee6a56f82.png)
при

.
Из

сходимости как известно следует сходимость по вероятности. Пытаюсь показать что из

сходимости следует равномерная интегрируемость.
![$$
|\xi_n|-|\xi|\le|\xi_n-\xi|\;\Rightarrow\;
E[|\xi_n|;|\xi_n|>c]-E[|\xi|;|\xi_n|>c]\le E[|\xi_n|]-E[|\xi|]\le E[|\xi_n-\xi|].
$$ $$
|\xi_n|-|\xi|\le|\xi_n-\xi|\;\Rightarrow\;
E[|\xi_n|;|\xi_n|>c]-E[|\xi|;|\xi_n|>c]\le E[|\xi_n|]-E[|\xi|]\le E[|\xi_n-\xi|].
$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/7/b/e7b9e0ea9e12822f5b2dce939c66dd0182.png)
откуда получается что
![$E[|\xi_n|;|\xi_n|>c]\le E[|\xi|;|\xi_n|>c]+ E[|\xi_n-\xi|].$ $E[|\xi_n|;|\xi_n|>c]\le E[|\xi|;|\xi_n|>c]+ E[|\xi_n-\xi|].$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/8/0/5803e876e7faddcffa387d3f0a7b808982.png)
Второй член справа можно сделать сколь угода малым. Не могу сообразить как уменьшить первый член справа. Нужно использовать что

и

принадлежат

но не соображу как именно? Заранее спасибо за помощь.