Доказательство Кантора

[arseniiv]

Sed в сообщении #771084 писал(а):

Из того, что множество представимо $\{^{n\text{ раз}}a\}^{n\text{ раз}}$ (если я правильно понимаю Вашу запись), не обязательно следует, что оно бесконечно. Т.к. мы говорим о множествах, которые могут быть своим элементом $a \in a$.
Возьмем множество $a=\{a\}$ в котором не содержится пустого множества $\varnothing \notin a$, его полная запись бесконечна и имеет вид $\{^{n\text{ раз}}a\}^{n\text{ раз}}$

Ах вот в чём, оказывается, дело. Вы неправильно поняли запись. Я имел в виду вполне конкретные множества $\varnothing, \{\varnothing\}, \{\{\varnothing\}\}, \{\{\{\varnothing\}\}\}, \ldots$, и именно «$\{\varnothing, \{\varnothing\}, \{\{\varnothing\}\}, \{\{\{\varnothing\}\}\}, \ldots\}\subset a$» было написано при первом упоминании мной этого факта. Все они должны быть элементами множества, являющегося собственным булеаном. И бесконечность множества означает то, что его мощность не меньше счётной, а не то, что у него «бесконечная запись» (формулы бесконечной длины в логике обычно не рассматриваются, если $a = \{a\}$, его «полная запись» просто не рассматривается. Для работы с теорией множеств вообще не обязательно использовать конструкции $\{\ldots\}$ — это синтаксический сахар. В частности, $a = \{a\}$ переписывается в виде $\forall x (x\in a \leftrightarrow x=a)$).

О троллинге. В недавних сообщениях вы вот правильно стали записывать булеан, а до того некоторое время писали ерунду вида $2^A = \{\varnothing, \{A\}\}$ (до того вы опять его правильно записывали, хотя там и была ещё в одном месте путанница со скобками). Вы как это объясните?

UPD. Впрочем, последнее «доказательство» было вообще феерией, булеаны как-то перед ним меркнут…

[provincialka]

Вообще ТС какой-то странный. Оперирует серьезными понятиями, "аксиома выделения", "аксиома регулярности". В то же время путается в простейших обозначениях и делает весьма "удивительные" логические выводы.

[Sed]

arseniiv в сообщении #771158 писал(а):

И бесконечность множества означает то, что его мощность не меньше счётной, а не то, что у него «бесконечная запись» (формулы бесконечной длины в логике обычно не рассматриваются, если $a = \{a\}$, его «полная запись» просто не рассматривается.

А зря, уважаемый. Это весьма интересное направление. Впрочем такими ортодоксами, как Вы, любой шаг в сторону будет признан ересью и предан анафеме.

arseniiv в сообщении #771158 писал(а):

Для работы с теорией множеств вообще не обязательно использовать конструкции $\{\ldots\}$ — это синтаксический сахар).

Термы - это тоже "синтетический сахар", можете пользоваться им. Скобки - это модель, не хуже и не лучше любой другой.

arseniiv в сообщении #771158 писал(а):

О троллинге. В недавних сообщениях вы вот правильно стали записывать булеан, а до того некоторое время писали ерунду вида $2^A = \{\varnothing, \{A\}\}$ (до того вы опять его правильно записывали, хотя там и была ещё в одном месте путанница со скобками). Вы как это объясните?

Я бы еще пообщался с Вами, но знаете ли, как-то противно стало, на душе. Когда тебя в каждом сообщении троллем обзывают и забанить грозиться… Зачем мне это ?

Someone в сообщении #771131 писал(а):

Вы действительно этого не понимаете? Тогда, может быть, попросить модераторов заблокировать Вас за патологическую безграмотность? Прецеденты были.

М-да… Вы так и не поняли, что проблема не в этом, а в множестве $B=\{x \in a | x\notin B\}$ на которое опирается Кантор. Оно всегда, тождественно, противоречиво, пусто, опираясь на него можно что угодно доказать.

Демонстрирую.
Т.к. в существовании множества $B$ сомнений нет, а по определению оно подмножество $a$ и элемент $2^a$, то остается только определить, принадлежит ли множество $B$ области значений, т.е. $B \in b$ или же его там нет, а значит оно в оставшейся части $2^a$.
Если множество $B$ входит в $b$, то по условию, что $f$ биекция, в $a$ есть элемент такой, что $f(x)=B$, но т.к. по определению $B$ оно состоит только из тех элементов $a$, которые не принадлежат своим образам $x\notin f(x)$, то получаем противоречие.
Обратно, если $B$ не входит в $b$, значит, оно входит в оставшуюся часть $2^a$, а так как $B$ состоит из тех элементов $a$, которые не принадлежат своим образам $x \notin f(x)$, значит в $a$ есть элемент, который не соответствует своему образу.

Чтобы не искушать Вас возможностью пустоты $B$ оказавшегося вне $b$, я заменю множества из цифр в условии на следующие:
$a=\{\varnothing, \{\varnofing\}, \{\varnothing, \{\varnothing\}\}$
$b=\{\varnothing, \{\{\varnofing\}\}, \{\{\varnothing, \{\varnothing\}\}\}$
Теперь, даже если вдруг $B$ окажется пустым, то оно должно иметь прообраз в $a$, т.к. $B\in b$. Если же $B$ не окажется в $b$, значит оно не пусто, т.е. в нем есть элемент $x \notin f(x)$, т.е. биекции нет.

(Оффтоп)

Впрочем, этот цирк мне порядочно надоел, достучаться до Вас все-равно невозможно.
Нормального открытого разговора на равных уже не будет. Скоро Вы начнете топать ножками и брызгать слюной в порыве праведного гнева…
Видел я уже это.
Если даже при взгляде в упор на вот эту загогулину $B=\{x \in a | x\notin B\}$ Вы продолжаете "отдавать честь"…

Всех благ.

[Someone]

Sed в сообщении #771169 писал(а):

М-да… Вы так и не поняли, что проблема не в этом, а в множестве $B=\{x \in a | x\notin B\}$ на которое опирается Кантор.

Врёте. Причём, нагло. Нету такого множества ни у Кантора, ни в последующих изложениях этого доказательства. Там есть множество $B=\{x\in a:x\notin f(x)\}$. Которое совершенно непротиворечиво определяется для любого отображения $f\colon a\to 2^a$.

[arseniiv]

Sed в сообщении #771169 писал(а):

А зря, уважаемый. Это весьма интересное направление. Впрочем такими ортодоксами, как Вы, любой шаг в сторону будет признан ересью и предан анафеме.

Чтобы разбираться с логикой с бесконечными формулами, надо сначала навести порядок с конечными. Незачем кидаться в бесконечности там, где без них можно обойтись.

Sed в сообщении #771169 писал(а):

Я бы еще пообщался с Вами, но знаете ли, как-то противно стало, на душе. Когда тебя в каждом сообщении троллем обзывают и забанить грозиться… Зачем мне это ?

Ладно, больше не буду пояснять свои слова. Вы что так, что эдак понимаете всё превратно.

Sed в сообщении #771169 писал(а):

"синтетический сахар"

Синтаксический всё-таки (и это было написано прямо в том куске, который вы цитировали). Это устоявшееся употребление. Надеюсь, хоть это вы аккуратно прочитаете и не будете отрицать.

[Someone]

Sed в сообщении #771169 писал(а):

Термы - это тоже "синтетический сахар", можете пользоваться им.

Не "синтетический", а "синтаксический".

Sed в сообщении #771169 писал(а):

Скобки - это модель

Скобки — это не модель, а символы, используемые для записи формул. Наряду с рядом других символов.

Sed в сообщении #771169 писал(а):

Оно всегда, тождественно, противоречиво, пусто, опираясь на него можно что угодно доказать.

Ну, Вы же не сумели доказать своё утверждение, причём, ошибка настолько очевидная, что просто удивительно, как её можно сделать. Если, конечно, понимать, что такое биекция.

[Someone]

Sed в сообщении #771169 писал(а):

Чтобы не искушать Вас возможностью пустоты $B$ оказавшегося вне $b$, я заменю множества из цифр в условии на следующие:
$a=\{\varnothing, \{\varnofing\}, \{\varnothing, \{\varnothing\}\}$
$b=\{\varnothing, \{\{\varnofing\}\}, \{\{\varnothing, \{\varnothing\}\}\}$
Теперь, даже если вдруг $B$ окажется пустым, то оно должно иметь прообраз в $a$, т.к. $B\in b$. Если же $B$ не окажется в $b$, значит оно не пусто, т.е. в нем есть элемент $x \notin f(x)$, т.е. биекции нет.

Во-первых, у Вас определения множеств $a$ и $b$ записаны с ошибками: в обоих случаях левых скобок больше, чем правых.
Во-вторых, по определению конструкции с фигурными скобками, $\{\}=\varnothing$, поэтому $a=\{\varnothing,\{\varnothing,\{\varnothing\}\}\}$ и $b=\{\varnothing,\{\varnothing\},\{\{\varnothing,\{\varnothing\}\}\}\}$. Здесь $\lvert a\rvert=2$, $\lvert b\rvert=3$, так что биекции $a$ на $b$ действительно нет.
В-третьих, теорема Кантора работает только для отображений вида $f\colon a\to 2^a$, а к отображениям $f\colon a\to b$ с $b\neq 2^a$ эта теорема неприменима. Причину я объяснял: может получиться, что определяемое в доказательстве множество $B=\{x\in a:x\notin f(x)\}$ не является элементом $b$, и получается, что мы не смогли найти такого элемента $y\in b$, который не имеет прообраза в множестве $a$. Поэтому мы не можем сделать вывод, что $f$ не сюръективно, и у нас нет оснований утверждать, что $f$ не биективно (но такие основания могут появиться по другим причинам, не связанным с теоремой Кантора).
В-четвёртых, такая запись множеств громоздка и неудобна для восприятия, но, поскольку в теории множеств стандартно определяют натуральные числа $0$, $1$ и $2$ как $0=\varnothing$, $1=\{\varnothing\}=\{0\}$ и $2=\{\varnothing,\{\varnothing\}\}=\{0,1\}$ (и вообще, если натуральное число $n$ уже определено, то полагаем $n+1=n\cup\{n\}$), то ваши множества $a$ и $b$ можно записать как $a=\{0,2\}$ и $b=\{\varnothing,\{0\},\{2\}\}$, что гораздо нагляднее.
Примеры.

$$\begin{array}{ccc} x&f_1(x)&f_2(x)\\ 0&\{0\}&\varnothing\\ 2&\{2\}&\{0\}\\ B&\varnothing&a \end{array}$$

1) Так как $f_1(0)=\{0\}$, то $0\in f_1(0)$; так как $f_1(2)=\{2\}$, то $2\in f_1(2)$. Поэтому $B=\varnothing$. Это множество не имеет прообраза при отображении $f_1$. Видим, что $B\in b$, поэтому мы нашли элемент множества $b$ не имеющий прообраза при отображении $f_1$. Следовательно, отображение $f_1$ не сюръективно и, таким образом, не биективно.
2) Так как $f_2(0)=\varnothing$, то $0\notin f_2(0)$; так как $f_2(2)=\{0\}$, то $2\notin f_2(2)$. Поэтому $B=\{0,2\}=a$. Конечно, из рассуждений Канторовского типа следует, что $a$ не имеет прообраза при отображении $f_2$. Однако здесь $B\notin b$, поэтому у нас нет оснований заявлять, что $f_2$ не сюръективно: мы не смогли пока что указать элемент множества $b$, не имеющий прообраза при отображении $f_2$. Но из других соображений мы знаем, что $f_2$ не сюръективно и, разумеется, не биективно.
3) Рассмотрим вместо вашего множества $a$ множество $a'=\{0,1,2\}$ (можете его записать в своём стиле, если хочется поупражняться в написании слова "\varnothing"). Пусть отображение $f\colon a'\to b$ определено равенствами $f(0)=\varnothing$, $f(1)=\{2\}$, $f(2)=\{0\}$. Так же, как в двух предыдущих случаях, выясняем, что $B=a'$ и, разумеется, не имеет прообраза при отображении $f$. Однако, как и в примере 2), $a'\notin b$, поэтому у нас нет никаких оснований утверждать, что $f$ не сюръективно. Внимательно посмотрев на определение отображения $f$, обнаруживаем, что оно сюръективно и, более того, биективно.

[Sed]

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #771189 писал(а):

Ладно, больше не буду пояснять свои слова. Вы что так, что эдак понимаете всё превратно.

Когда выводишь противоречие все рассуждения кажутся превратными. Посмотрите на мою "превратность" с другой стороны. Представьте, что Вы пользуетесь каким-то методом доказательства, а я говорю, что оно противоречиво и используя этот Ваш метод вывожу всякую чушь. Вы, естественно, накинетесь на меня, считая меня виноватым во всем, что я все превратно понимаю. Гораздо труднее вдуматься в основания собственного метода рассуждений и увидеть в нем то, на что я пытаюсь обратить Ваше внимание.

Someone в сообщении #771242 писал(а):

Не "синтетический", а "синтаксический".

Я не цитировал, читать "синтетический", так задумано.

Someone в сообщении #771242 писал(а):

Скобки — это не модель, а символы, используемые для записи формул. Наряду с рядом других символов.

Скобки - это модель на которой можно проверять непротиворечивость теории множеств, точно также, как моделью натуральных чисел являются палочки или запись $S(S(S(x))…)$. Вообще, любые термы - это синтаксические модели той или иной теории (обычно метатеории), не обязательно строго математической.

Someone в сообщении #771242 писал(а):

Во-первых, у Вас определения множеств $a$ и $b$ записаны с ошибками: в обоих случаях левых скобок больше, чем правых.

Есть грешок... чертовски плохо раскуриваются…

Someone в сообщении #771242 писал(а):

Во-вторых, по определению конструкции с фигурными скобками, $\{\}=\varnothing$, поэтому $a=\{\varnothing,\{\varnothing,\{\varnothing\}\}\}$ и $b=\{\varnothing,\{\varnothing\},\{\{\varnothing,\{\varnothing\}\}\}\}$. Здесь $\lvert a\rvert=2$, $\lvert b\rvert=3$, так что биекции $a$ на $b$ действительно нет.

Т.к. Вы далее заметили, что "\varnothing" я записал с ошибкой, то множество $a$ Вы неправильно записали, я записал так: $a=\{\varnothing,\{\varnothing\},\{\varnothing,\{\varnothing\}\}\}$ (наведите курсор на мою запись и увидите второй "\varnofing")
Соответственно, множество я определил так $b=\{\varnothing,\{\{\varnothing\}\},\{\{\varnothing,\{\varnothing\}\}\}\}$
Надеюсь у Вас нет сомнений, что множество $b$ состоит из подмножеств множества $a$ и является подмножеством $2&^a$

Someone в сообщении #771242 писал(а):

В-четвёртых, такая запись множеств громоздка и неудобна для восприятия, но, поскольку в теории множеств стандартно определяют натуральные числа $0$, $1$ и $2$ как $0=\varnothing$, $1=\{\varnothing\}=\{0\}$ и $2=\{\varnothing,\{\varnothing\}\}=\{0,1\}$ (и вообще, если натуральное число $n$ уже определено, то полагаем $n+1=n\cup\{n\}$), то ваши множества $a$ и $b$ можно записать как $a=\{0,2\}$ и $b=\{\varnothing,\{0\},\{2\}\}$, что гораздо нагляднее.

Как стандартно обозначаются элементы минимального индуктивного множества мне известно, они тут не причем, выше я уже определил множества $a,b$, как не принадлежащие этому множеству.

Someone в сообщении #771242 писал(а):

В-третьих, теорема Кантора работает только для отображений вида $f\colon a\to 2^a$, а к отображениям $f\colon a\to b$ с $b\neq 2^a$ эта теорема неприменима. Причину я объяснял: может получиться, что определяемое в доказательстве множество $B=\{x\in a:x\notin f(x)\}$ не является элементом $b$, и получается, что мы не смогли найти такого элемента $y\in b$, который не имеет прообраза в множестве $a$.

Принимается.

Но это не является непреодолимой проблемой. Методология доказательства Кантора универсальна, нужно просто условие подобрать соответствующее случаю (завуалировано реализовать $B=\{x\in a| x\notin B\}$ для конкретного случая).
В данном случае предлагаю рассмотреть такое множество $B=\{x \in a: f(x) \notin b \}$. По-моему идеальный аналог Канторовского $B=\{x\in a| x\notin f(x)\}$ на случай предположения, что $f(x)=B$ и замены указанной "невинной записи" на $B=\{x\in a| x\notin B\}$. В нашем случае указанная "невинная запись" примет вид $B=\{x \in a | B \notin b\}$ на случай предположения, что $B \in b$.

Т.к. Ваш основной и единственный аргумент сводится к тому, что множество $B$ может (и почему то всегда оказывается) вне $b$ и потому метод, использованный в теореме Кантора в данном случае не применим, я переформулирую теорему и применю метод Кантора, так, чтобы множество $B$ оказывалось вне $b$, когда оно должно там находится по условию и наоборот, чтобы его там не было, когда по условию оно там должно быть.

Дано
$a$ любое множество, содержащее пустое множество.
$b= \{x\in 2^a : (|x\cap a|<2) \land x \neq \{\varnothing\}\}\subset 2^a$
Теорема. Любая функция из $a$ в $b$ не является биекцией.
Доказательство.
Возьмем произвольную $f: a \to b$ и докажем, что $f$ - не является биекцией, методом от противного.
Пусть $f$ - биекция.
По аксиоме выделения существует множество $B=\{x \in a: f(x) \notin b \}\subset 2^a$.
Посмотрим, $B \in b$ или принадлежит его дополнению в $2^a$.

1) Предположим, $B\in b$, тогда по определению $B$, в $a$ существует элемент $c$ такой, что $f(c) \notin b$, т.е. его образ не принадлежит множеству образов, а значит $f$ не биекция.
2) Предположим, $B \notin b$, тогда в $a$ нет элемента, образом которого является $B$, т.е. ни один элемент $a$ не удовлетворяет условию $f(c) \notin b$, а следовательно, $B=\{\varnothing\}$. Однако, т.к. по определению $b$ имеем $\varnothing \in b$ получаем противоречие вида $\varnothing \in B \land \varnothing \notin b$, или $\varnothing \in b \land \varnothing \notin b$
3) Допустим, что $B=\varnothing$. По определению $b$, $\varnothing \in b$, а значит $B$ существует, $B \in b$ и должно иметь прообраз, т.е. смотри п.1 (Т.к. по определению $B$ оно состоит только из тех элементов $a$, образы которых не входят в $b$, получаем противоречие вида $f(c) \in b \land f(c) \notin b$.

Во всех случаях получаем противоречие. Значит, исходная посылка о то, что $f$ биекция неверна. $f$ была выбрана произвольно, значит любая функция из $f$ не может являться биекцией.

Примеры.
$a=\{\varnothing,1\}$ и $b=\{\varnothing,\{1\}\}$

$$\begin{array}{ccc} x&f_1(x)&f_2(x)\\ \varnothing & \varnothing &\{1\}\\ 1&\{1\}&\varnothing \\ \end{array}$$

1) Рассмотрим $f_1$.
Т.к. $B=\{x\in a | f(x) \notin b\}$
При $x=\varnothing$ имеем:
$\varnothing \in a = TRUE$
$f(\varnothing) \notin b = FALSE$
Т.е. $B=\{\varnothing\}$ или $B=\varnothing$ (как угодно)
При $x=1 $ имеем:
$1 \in a = TRUE$
$f(1) \notin b = FALSE$
Т.е. $B=\{\varnothing\}$ или $B=\varnothing$ (как угодно)
Если $B$ состоит из одного элемента, а именно $\varnothing$, то мы знаем, по определению $b$, что это образ элемента из $a$, т.е. $\varnothing \in b$, а значит $\varnothing$ в множестве $B$ быть не должно, т.к. там только те элементы $a$, образы которых не в $b$. Противоречие.
Если $B=\varnothing$, то оно должно входить в $b$, т.к. $\varnothing \in b$, а значит в $a$ есть элемент $c$ - прообраз $B$, (т.к. $f$ - биекция), который удовлетворяет условию задающему $B$, т.е. $f(c) \notin b$. Противоречие.

Случай $f_2$ расписывать не буду, рассуждения те же самые.

P.S. Если угроз бана и обвинений в троллинге больше не последует, могу продолжить беседу в спокойном, конструктивном режиме. Кстати, а есть ли на этом форуме, представители конструктивного подхода ?

[Xaositect]

Sed в сообщении #771415 писал(а):

По аксиоме выделения существует множество $B=\{x \in a: f(x) \notin b \}\subset 2^a$.

$B$ всегда пустое, так что действительно $\subset 2^a$, не поспоришь :)

Sed в сообщении #771415 писал(а):

1) Предположим, $B\in b$, тогда по определению $B$, в $a$ существует элемент $c$ такой, что $f(c) \notin b$, т.е. его образ не принадлежит множеству образов, а значит $f$ не биекция.

Как Вы этот вывод получили? Если $B$ пустое, то в нем элементов нет, значит, такой $c$ не существует по определению $B$.

Sed в сообщении #771415 писал(а):

3) Допустим, что $B=\varnothing$. По определению $b$, $\varnothing \in b$, а значит $B$ существует, $B \in b$ и должно иметь прообраз, т.е. смотри п.1

Нельзя см. п.1, потому что в п.1. требуется, чтобы $B$ было непустым.

Sed в сообщении #771415 писал(а):

Т.е. $B=\{\varnothing\}$ или $B=\varnothing$ (как угодно)

Так со скобочками обращаться нельзя. Докажите, пожалуйста, что $\varnothing\neq \{\varnothing\}$ и больше так не делайте.

[Someone]

Sed в сообщении #771415 писал(а):

Когда выводишь противоречие все рассуждения кажутся превратными.

Нет. В математики все рассуждения выполняются по вполне определённым правилам, которые Вы нарушаете.

Sed в сообщении #771415 писал(а):

Вы, естественно, накинетесь на меня, считая меня виноватым во всем, что я все превратно понимаю.

"Настучу" модератору. За превратное понимание он Вас заблокирует либо как тролля, либо как патологически невежественного человека.

Sed в сообщении #771415 писал(а):

Скобки - это модель на которой можно проверять непротиворечивость теории множеств, точно также, как моделью натуральных чисел являются палочки или запись $S(S(S(x))…)$. Вообще, любые термы - это синтаксические модели той или иной теории (обычно метатеории), не обязательно строго математической.

Скобки — не термы, а символы. Термы — не модели, а объекты теории. Да ещё метатеорию к чему-то приплели. Нахватались слов, которых не понимаете.

Sed в сообщении #771415 писал(а):

Как стандартно обозначаются элементы минимального индуктивного множества мне известно, они тут не причем, выше я уже определил множества $a,b$, как не принадлежащие этому множеству.

Я использовал натуральные числа просто для упрощения записи Ваших множеств, тем более, что множества у меня получились в точности такие, какие можно было увидеть в Вашем тексте на экране. Не моя вина, что Вы их написали не так, как хотели. Под окном набора сообщения есть кнопочка "Предпросмотр", пользуйтесь ей для проверки того, что написали.

Sed в сообщении #771415 писал(а):

завуалировано реализовать $B=\{x\in a| x\notin B\}$ для конкретного случая

Я уже писал Вам, что ни у Кантора, ни в последующих изложениях доказательства обсуждаемой теоремы нет такого множества. Это "определение" ничего не определяет. Это просто глупость. Для того, чтобы можно было проверить условие $x\notin B$ в фигурных скобках, множество $B$ должно быть уже определено, а Вы его пытаетесь определить через это условие.

Sed в сообщении #771415 писал(а):

Т.к. Ваш основной и единственный аргумент сводится к тому, что множество $B$ может (и почему то всегда оказывается) вне $b$

Ложь.

Sed в сообщении #771415 писал(а):

В данном случае предлагаю рассмотреть такое множество $B=\{x \in a: f(x) \notin b \}$.

Вы большой специалист по придумыванию глупостей. Поскольку мы рассматриваем отображение $f\colon a\to b$, то для всякого $x\in a$ будет $f(x)\in b$, так что Ваше $B$ заведомо пустое.

Sed в сообщении #771415 писал(а):

Предположим, $B\in b$, тогда по определению $B$, в $a$ существует элемент $c$ такой, что $f(c) \notin b$

Очередная глупость, просто противоречащая определению отображения $f$.

Sed в сообщении #771415 писал(а):

3) Допустим, что $B=\varnothing$. По определению $b$, $\varnothing \in b$, а значит $B$ существует, $B \in b$ и должно иметь прообраз

Не должно. Это единственный из трёх Ваших пунктов, который может реализоваться с Вашим заведомо пустым множеством $B$, и в этом случае элемент $B\in b$ может как иметь прообраз, так и не иметь его. Смотря какое $f$.

Sed в сообщении #771415 писал(а):

Т.е. $B=\{\varnothing\}$ или $B=\varnothing$ (как угодно)

Нет, не "как угодно". $\{\varnothing\}\neq\varnothing$. Какой вариант правильный? Согласно Вашему определению

Sed в сообщении #771415 писал(а):

$B=\{x\in a | f(x) \notin b\}$

всегда $B=\varnothing$.

Далее, Вы почему-то определяете одно множество $B$ два раза:

Sed в сообщении #771415 писал(а):

1) Рассмотрим $f_1$.
Т.к. $B=\{x\in a | f(x) \notin b\}$
При $x=\varnothing$ имеем:
$\varnothing \in a = TRUE$
$f(\varnothing) \notin b = FALSE$
Т.е. $B=\{\varnothing\}$ или $B=\varnothing$ (как угодно)
При $x=1 $ имеем:
$1 \in a = TRUE$
$f(1) \notin b = FALSE$
Т.е. $B=\{\varnothing\}$ или $B=\varnothing$ (как угодно)

Вы вообще ничего не понимаете в том, что пишете?

Sed в сообщении #771415 писал(а):

P.S. Если угроз бана и обвинений в троллинге больше не последует, могу продолжить беседу в спокойном, конструктивном режиме.

Будете продолжать писать такие же глупости да ещё приписывать Кантору чушь наподобие "$B=\{x\in a| x\notin B\}$", модераторские санкции непременно последуют. Может оказаться, что быстрее, чем Вы ожидаете.

[Sed]

(Оффтоп)

Someone в сообщении #771539 писал(а):

Sed в сообщении #771415 писал(а):

Когда выводишь противоречие все рассуждения кажутся превратными.

Нет. В математики все рассуждения выполняются по вполне определённым правилам, которые Вы нарушаете.

Уважаемый, Вы не понимаете на каком уровне идет дискуссия.
То, что Вы называете "В математики все рассуждения выполняются по вполне определённым правилам", так вот, эти самые правила о которых Вы говорите, они то, как раз и подвергаются обсуждению (и сомнению), на предмет противоречивости, что не понятно ? Что тут может быть не ясно ?

Someone в сообщении #771539 писал(а):

Sed в сообщении #771415 писал(а):

Вы, естественно, накинетесь на меня, считая меня виноватым во всем, что я все превратно понимаю.

"Настучу" модератору. За превратное понимание он Вас заблокирует либо как тролля, либо как патологически невежественного человека.

Ваше право, скорее всего так и будет. И что это меняет ? Думаете я (или Вы) прекратим играть свою роль ? Не смешите мою ****… "стучите", коль надобно...

Someone в сообщении #771539 писал(а):

Sed в сообщении #771415 писал(а):

Скобки - это модель на которой можно проверять непротиворечивость теории множеств, точно также, как моделью натуральных чисел являются палочки или запись $S(S(S(x))…)$. Вообще, любые термы - это синтаксические модели той или иной теории (обычно метатеории), не обязательно строго математической.

Скобки — не термы, а символы. Термы — не модели, а объекты теории. Да ещё метатеорию к чему-то приплели. Нахватались слов, которых не понимаете.

Еще одна "охота на ведьм". Теперь и термы (во всех смыслах) нельзя изучать, как модель той или иной теории… Мракобесие процветает… Вы, вообще, знаете на каких теория основана символьная запись ZFC ? Или Вы думаете, что эти термы даны с неба, на горной проповеди ?

Someone в сообщении #771539 писал(а):

Sed в сообщении #771415 писал(а):

Как стандартно обозначаются элементы минимального индуктивного множества мне известно, они тут не причем, выше я уже определил множества $a,b$, как не принадлежащие этому множеству.

Я использовал натуральные числа просто для упрощения записи Ваших множеств, тем более, что множества у меня получились в точности такие, какие можно было увидеть в Вашем тексте на экране. Не моя вина, что Вы их написали не так, как хотели. Под окном набора сообщения есть кнопочка "Предпросмотр", пользуйтесь ей для проверки того, что написали.

Вы правы, это не Ваша вина, а моя, я виноват, каюсь.
Действительно, я плохо дружу со скобками, простите…
В этом смысле, спасибо Вам, Вы маяк, на который можно ориентироваться…

Someone в сообщении #771539 писал(а):

Sed в сообщении #771415 писал(а):

завуалировано реализовать $B=\{x\in a| x\notin B\}$ для конкретного случая

Я уже писал Вам, что ни у Кантора, ни в последующих изложениях доказательства обсуждаемой теоремы нет такого множества. Это "определение" ничего не определяет. Это просто глупость.

Совершенно , с Вами согласен, что это полная глупость, но я не согласен, что Кантор эту "глупость" не использовал, как одну из посылок для доказательства своих теорем!!!

Someone в сообщении #771539 писал(а):

Для того, чтобы можно было проверить условие $x\notin B$ в фигурных скобках, множество $B$ должно быть уже определено, а Вы его пытаетесь определить через это условие.

Так, точно так же, поступает и Кантор, пытаясь доказать, что биекции нет, он заранее определяет, что ее нет, неужели Вы этого не видете ?

Someone в сообщении #771539 писал(а):

Sed в сообщении #771415 писал(а):

Т.к. Ваш основной и единственный аргумент сводится к тому, что множество $B$ может (и почему то всегда оказывается) вне $b$

Ложь.

Вы это второй раз повторяете, возможно, мне это не очевидно, я, действительно, думаю, так…

Someone в сообщении #771539 писал(а):

Sed в сообщении #771415 писал(а):

В данном случае предлагаю рассмотреть такое множество $B=\{x \in a: f(x) \notin b \}$.

Вы большой специалист по придумыванию глупостей. Поскольку мы рассматриваем отображение $f\colon a\to b$, то для всякого $x\in a$ будет $f(x)\in b$, так что Ваше $B$ заведомо пустое.

Извините, а почему оно для Вас заведомо пустое ?
Не потому ли, что Вы имеете способ независимой проверки оного ?
А что нам делать в случае бесконечного множества ??? Верить Вам и Кантору ?
На каком, извините, основании ?

Someone в сообщении #771539 писал(а):

Sed в сообщении #771415 писал(а):

Предположим, $B\in b$, тогда по определению $B$, в $a$ существует элемент $c$ такой, что $f(c) \notin b$

Очередная глупость, просто противоречащая определению отображения $f$.

Это "очередная глупость", основанная на методе Кантора. Неужели Вы не видете тождества, между обоими "методами доказательства" ?
Печалька…

Someone в сообщении #771539 писал(а):

Sed в сообщении #771415 писал(а):

3) Допустим, что $B=\varnothing$. По определению $b$, $\varnothing \in b$, а значит $B$ существует, $B \in b$ и должно иметь прообраз

Не должно. Это единственный из трёх Ваших пунктов, который может реализоваться с Вашим заведомо пустым множеством $B$, и в этом случае элемент $B\in b$ может как иметь прообраз, так и не иметь его. Смотря какое $f$.

Мне все равно, какое $f$, если $B$ существует, по аксиоме выделения, то $B\in b$. Абсолютно не имеет значения $B=\varnothing$ или $B=\{\varnothing\}$. В обоих случаях имеем противоречие. В первом: потому, что $B$ не может содержать элемента из $a$, иначе нет биекции, во втором, $B=\{\varnothing\}$ потому, что $\varnothing \in b$ по условию, а значит $B$ там быть не может…

Someone в сообщении #771539 писал(а):

Sed в сообщении #771415 писал(а):

Т.е. $B=\{\varnothing\}$ или $B=\varnothing$ (как угодно)

Нет, не "как угодно". $\{\varnothing\}\neq\varnothing$. Какой вариант правильный? Согласно Вашему определению

Sed в сообщении #771415 писал(а):

$B=\{x\in a | f(x) \notin b\}$

всегда $B=\varnothing$.

Да, мне все-равно, какой правильный (по-Вашему), оба ведет к противоречию, иначе, зачем бы я это писал ???

Someone в сообщении #771539 писал(а):

Sed в сообщении #771415 писал(а):

Т.е. $B=\{\varnothing\}$ или $B=\varnothing$ (как угодно)

Вы вообще ничего не понимаете в том, что пишете?

Я-то понимаю, о чем я пишу, я Вижу, что Вы должны принять, что $\varnothing \neq \varnothing$, чтобы разрешить это противоречие, но это, тоже, временный выход…

Someone в сообщении #771539 писал(а):

Sed в сообщении #771415 писал(а):

P.S. Если угроз бана и обвинений в троллинге больше не последует, могу продолжить беседу в спокойном, конструктивном режиме.

Будете продолжать писать такие же глупости да ещё приписывать Кантору чушь наподобие "$B=\{x\in a| x\notin B\}$", модераторские санкции непременно последуют. Может оказаться, что быстрее, чем Вы ожидаете.

Надеюсь, что модератор, окажется прозорливее Вас (на то, он и модератор).
Впрочем, я в этом мало сомневаюсь.

Знаете, что меня удерживает ?
Не Ваша "манная каша", а ответ

Xaositect в сообщении #771503 писал(а):

Sed в сообщении #771415 писал(а):

По аксиоме выделения существует множество $B=\{x \in a: f(x) \notin b \}\subset 2^a$.

$B$ всегда пустое, так что действительно $\subset 2^a$, не поспоришь :)

Sed в сообщении #771415 писал(а):

1) Предположим, $B\in b$, тогда по определению $B$, в $a$ существует элемент $c$ такой, что $f(c) \notin b$, т.е. его образ не принадлежит множеству образов, а значит $f$ не биекция.

Как Вы этот вывод получили? Если $B$ пустое, то в нем элементов нет, значит, такой $c$ не существует по определению $B$.

Над которым, я серьезно задумался…

[provincialka]

О боже! Дай терпения отвечающим. Я, например, уже потеряла мысль: вы что теперь доказываете (или опровергаете)?
Как говорил Шалтай-Болтай Алисе: "Давай-ка вернемся к предпоследнему замечанию".

Пока у меня сложилось такое впечатление. Вам не нравится доказательство Кантора, и вы решили его опровергнуть, показав, что оно объявляет неэквивалентными (в смысле биекции) явно эквивалентные множества. Так?

[Someone]

Sed в сообщении #771636 писал(а):

Уважаемый, Вы не понимаете на каком уровне идет дискуссия.

Ну почему же, Ваш уровень был виден сразу. Он очень низкий. Сначала была некоторая надежда, что Вы хотите в чём-то разобраться. В таком случае Вам помогли бы. Но, как выяснилось, ни в чём разбираться Вы не хотите. Напротив, Вы вообразили себя единственным носителем истины, а всех математиков за последние полтораста лет считаете идиотами, неспособными разобраться в простой теореме. Ну что ж, оставайтесь при своём мнении.

Sed в сообщении #771636 писал(а):

Совершенно , с Вами согласен, что это полная глупость, но я не согласен, что Кантор эту "глупость" не использовал, как одну из посылок для доказательства своих теорем!!!

Sed в сообщении #771636 писал(а):

Так, точно так же, поступает и Кантор, пытаясь доказать, что биекции нет, он заранее определяет, что ее нет, неужели Вы этого не видете ?

Извините, такие утверждения необходимо доказывать. Будьте любезны привести точные цитаты из работ Кантора, с точными ссылками, где Кантор 1) определяет множество "$B=\{x\in a| x\notin B\}$" (пусть с другими буквами) и использует его в доказательстве и 2) чтобы доказать отсутствие биекции, заранее предполагает, что биекции нет.
В противном случае будем считать Вас клеветником.

Sed в сообщении #771415 писал(а):

Т.к. Ваш основной и единственный аргумент сводится к тому, что множество $B$ может (и почему то всегда оказывается) вне $b$

Someone в сообщении #771539 писал(а):

Ложь.

Sed в сообщении #771636 писал(а):

Вы это второй раз повторяете, возможно, мне это не очевидно, я, действительно, думаю, так…

То же самое: предъявите цитату из моего сообщения с точной ссылкой, где я утверждаю, что для отображения $f\colon a\to b$ ($b\subseteq 2^a$) множество $B=\{x\in a:x\notin f(x)\}$ никогда не является элементом $b$ (говоря Вашими словами, "всегда оказывается вне $b$").
Если Вы этого не сделаете, то всем будет видно, что Вы лжец.

Sed в сообщении #771636 писал(а):

Извините, а почему оно для Вас заведомо пустое ?
Не потому ли, что Вы имеете способ независимой проверки оного ?
А что нам делать в случае бесконечного множества ??? Верить Вам и Кантору ?
На каком, извините, основании ?

На основании определения отображения $f\colon a\to b$. Если бы Вы понимали, что это такое, Вы бы тоже имели способ "независимой" проверки того, что множество $B=\{x\in a:f(x)\notin b\}$ всегда пусто.

[provincialka]

По-моему, тему пора закрывать

(Оффтоп)

В общем, не тяни резину, я прощаю все. Кончай ее, Сэмэн.

[Deggial]

Sed, бан за сильное и злокачественное невежество, клевету на Кантора, троллинг.
Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Пургаторий (М)»