Почему уравнения движения именно 2-го порядка?

[zbl]

Почему уравнения движения именно второго порядка?
Иначе говоря, почему Лейбницу, чтобы стать Касандрой, достаточно знать только координаты и скорости всех тел, а ускорения, например, ему не нужны.

Между прочим, мы, будучи студентами 1-го курса физфака, тут же спросили у проффесора, который у нас вёл механику этот вопрос (причём вопрос этот созрел у нескольких из нас совершенно независимо).
Отсюда, видимо, следует, что вопрос-то этот интересный.

Я не встречал в учебниках практически ничего по этому поводу.
У Ландау можно часто видеть что-то в роде: "щас мы раз и выведем уравнения движения из общих соображений; они должны быть релятивистски инварианты да ещё порядка не выше второго, так как более высокий порядок внес бы лишние решения".
Логично, конечно, но как Ландау отличал лишнее от нелишнего -- непонятно.

А почему не взять, да и не попробовать?
Например добавим ка ускорение в мех состояние.
Тогда функция Лагранжа будет иметь вид: $L(x,\dot x,\ddot x)$ вместо $L(x,\dot x)$.
Соответственно, уравнения Эйлера с ней:

$$\frac{\partial L}{\partial x} - \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot x} + \frac{d^2}{dt^2}\frac{\partial L}{\partial \ddot x} = 0 $$

Но! эти уравнения должны быть 3-го, а не 4-го порядка.
Того требует детерминизм: мы ж договорились, что значения координаты, скорости и ускорения в данный момент времени полностью определяют их значения в любой другой момент.
Не при любых $L$ такое возможно, а только при таких, в которые $\ddot x$ входит линейно.
Поэтому, $L$ может иметь только вид $\mathcal{L}(x,\dot x) + f(x,\dot x)\ddot x$.
Причём, $f$ не может зависеть от одной из $x,\dot x$, но только от их обеих (иначе, получается либо уравнение 2-го порядка, либо добавка сводится к полной производной по времени).

Но! мы ж всегда сможем записать $f(x,\dot x)\ddot x$ в виде $\frac{\partial \Lambda(x,\dot x)}{\partial \dot x}\ddot x$, а последнее в виде $\frac{d\Lambda}{dt} - \frac{\partial\Lambda}{\partial x}\dot x$.
Полная производная по времени смело выпадет из функции Лагранжа, а то, что останется, будет иметь вид:

$$\mathcal{L}(x,\dot x) + \frac{\partial\Lambda}{\partial x}\dot x$$

И как это понимать?

Мы имеем два уравнения, решения которых зануляют вариацию действия, одно третьего порядка, а другое второго:

$$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} + \frac{\partial^2\Lambda}{\partial x\partial\dot x}\ddot x - \frac{d}{dt}\left \{ \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \dot x} + \frac{\partial^2\Lambda}{\partial{\dot x}^2}\ddot x \right \} + \frac{d^2}{dt^2}\frac{\partial\Lambda}{\partial \dot x} = 0$$

$$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} - \frac{\partial^2\Lambda}{{\partial x}^2}\dot x - \frac{d}{dt}\left \{ \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \dot x} - \frac{\partial^2\Lambda}{\partial x\partial\dot x}\dot x - \frac{\partial\Lambda}{\partial x} \right \} = 0$$

При том три начальных условия превращаться в два за просто так не собираются.

Аналогичную процедуру можно проделать и, если мы введём в аргументы $L$ высшие производные от $x$ по времени.
Причём, $\Lambda$ ведь не определена однозначно, не правда ли?
Возможно, неоднозначность $\Lambda$ и связана с потерей одного начального условия при переходе от уравнения 3-го порядка к уравнению 2-го.

Выходит, если мы добавим в мехсостояние ускорение, то это сведётся к появлению в обычной функции Лагранжа внешнего параметра?
Не масса ли тот параметр?

Вопрос: что бы всё это значило? и не велосипед ли это всё?

[Котофеич]

zbl писал(а):

Почему уравнения движения именно второго порядка?

Это просто приближение верное в той же самой степени что и предположение об однородности и изотропии пространства-времени. При больших энергиях это скорее всего не так.
http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=3596&pos ... c&start=30

[ButovSV]

zbl писал(а):

Почему уравнения движения именно второго порядка?

Приглашаю посмотреть:
Кинедины и прогнодины

[zbl]

ButovSV писал(а):

zbl писал(а):

Почему уравнения движения именно второго порядка?

Приглашаю посмотреть:
Кинедины и прогнодины

Посмотрел сквозь.
Подозрительно выглядит (2.27).
Там сила действует на одно тело, а смещение вычисляется для другого.
Эдак, думаю, можно и попроще придумать что-то на одних только пружинках.
Например, если совсем разорвать связь, то перемещение от силы вообще не будет зависеть, а не только там по третьей производной.
В любом случае, можно придумать массу устройств с внутренней памятью для воспроизведения эффекта зависимости мех состояния от высших производных координат по времени.
В данной ветке же мне хотелось ограничиться только тем, что добавить в мехсостояние обычной лагранжевой механики высшие производные (да посмотреть, что тогда получится).
Вопрос в том, что я решительно не понимаю, что же у меня такое получилось (если, вообще, нет вычошибки).
Получилось, что, если добавить в мехсостояние ускорение, то лагранжиан можно привести к виду, зависящему только от координаты и скорости -- но начальные условия же при том никуда не денутся, как уравнение второго порядка сможет иметь три начальных условия?

[PSP]

zbl писал(а):

Выходит, если мы добавим в мехсостояние ускорение, то это сведётся к появлению в обычной функции Лагранжа внешнего параметра?
Не масса ли тот параметр?

Вопрос: что бы всё это значило? и не велосипед ли это всё?

Это не велосипед и скорее всего, не исключено, что насчёт массы Вы правы...

[zbl]

PSP писал(а):

Это не велосипед

Мне трудно представить, чтобы кто-нибудь за 300 лет не проделал этих выкладок.
Но и не понятно, почему этот вопрос в учебниках совсем не обсуждается.

PSP писал(а):

скорее всего, не исключено, что насчёт массы Вы правы...

Тут дело за малым: ищем $L(x,\dot x,\ddot x)$ такого вида, что даёт уравнения движения второго порядка такие же, как, например, у гармонического осциллятора.
В общем, конкретный пример надо рассмотреть.
Займусь как нибудь когда приосвобожусь.

Мне даже степень неоднозначности $\Lambda$ не понятна.
Видится, что она только до прибавки вида $f(x)$, но слагаемое вида $f(x)\dot x$ из $L$ всё равно выпадет как полная производная.
Что же, $\Lambda$ однозначно определена что ли? а где ж лишняя константа тогда?

[PSP]

zbl писал(а):

Мне даже степень неоднозначности $\Lambda$ не понятна.
Видится, что она только до прибавки вида $f(x)$, но слагаемое вида $f(x)\dot x$ из $L$ всё равно выпадет как полная производная.
Что же, $\Lambda$ однозначно определена что ли? а где ж лишняя константа тогда?

Не исключено, что весь этот класс идей может привести к квантовой механике с непривычной стороны и однозначность $\Lambda$ найдёт свое обьяснение...

[zbl]

zbl писал(а):

Но! мы ж всегда сможем записать $f(x,\dot x)\ddot x$ в виде $\frac{\partial \Lambda(x,\dot x)}{\partial \dot x}\ddot x$, а последнее в виде $\frac{d\Lambda}{dt} - \frac{\partial\Lambda}{\partial x}\dot x$.
Полная производная по времени смело выпадет из функции Лагранжа, а то, что останется, будет иметь вид:

$$\mathcal{L}(x,\dot x) + \frac{\partial\Lambda}{\partial x}\dot x$$

И как это понимать?

Ага; попробуем получить квадрат скорости в функции Лагранжа.
Чтобы там был квадрат, нужно, чтобы $\frac{\partial\Lambda}{\partial x}$ было линейно по $\dot x$.
Но это невозможно, ибо тогда $\frac{\partial\Lambda}{\partial \dot x}$ не сможет зависеть от $\dot x$ (добавки, зависящие только от $\dot x$, после умножения на $\ddot x$ уйдут как полная производная).
Выходит, означенная замена не способна дать чистый квадрат скорости в функцию Лагранжа -- либо куб или высшую степень, либо что-то неаналитичное.
Получается, что добавка в мехсостояние ускорения не повлияет на обычные слагаемые, квадратичные по скорости.

Ситуация похожа на переход от уравнения второго порядка к уравнению Рикатти.
Знать, соотношение $\frac{d\Lambda}{dt} - \frac{\partial\Lambda}{\partial x}\dot x$ есть некая замена переменной, и из него-то и вносится лишняя константа.

[Архипов]

zbl писал(а):

Почему уравнения движения именно второго порядка?
Иначе говоря, почему Лейбницу, чтобы стать Касандрой, достаточно знать только координаты и скорости всех тел, а ускорения, например, ему не нужны.

Лейбницу или Лагранжу?
Кстати в учебниках излагают механику Лагранжа так: неопределенная функция Лагранжа L=f(x,v,t) заменяется незнамо откуда взявшейся формулой закона сохранения механической энергии, затем показывается дифференциальное уравнение Лагранжа 2 рода.
Так что первично? ЗСЭ или уравнение Лагранжа?
У меня получилось, что плясать нужно от дифференциального уравнения. Или я не прав?
http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=1867
По этой ссылке подробно все описано

[zbl]

Архипов писал(а):

Кстати в учебниках излагают механику Лагранжа так: неопределенная функция Лагранжа L=f(x,v,t) заменяется незнамо откуда взявшейся формулой закона сохранения механической энергии, затем показывается дифференциальное уравнение Лагранжа 2 рода.

Не все учебники хорошие, даже хороших очень мало -- обычно что-то чуть лучше изложено в одном, а что-то -- в другом...

Архипов писал(а):

Так что первично? ЗСЭ или уравнение Лагранжа?

ЗСЭ -- это следствие уравнений движения (или инвариантности лагранжиана, если начинать с принципа наименьшего действия, а не уравнений движения).

Архипов писал(а):

У меня получилось, что плясать нужно от дифференциального уравнения. Или я не прав?

Плясать можно либо от принципа действия, либо от уравнений движения.
Дело в том, что они на самом деле эквивалентны.
Можно записать уравнения движения, которые не выводятся из принципа действия (на практике так обычно и делают, учитывая трение, например).
Но такие уравнения содержат связи, заданные извне произвольным образом.
Иначе говоря, они учитывают законы, которые выходят за рамки данной теории.
Если мы включим эти законы в теорию, то сможем построить и принцип действия.
Такова, например, ситуация с законами трения (открытыми Кулоном).
Формально, они чётко формулируемы, но ввести их в механику не удаётся, потому что только этих двух законов мало, чтобы описать любое трение -- оно зависит от рода той среды, о которую трётся тело.
Если же корректно описать эту среду, то удастся и сформулировать принцип действия и вывести из него уравнения движения в данной среде.

Принцип действия в сущности -- это обозначение границ данной теории (так своими словами говорил ещё сам Лагранж, когда объяснял отличие своего подхода от традиционного; где-то у меня есть эта цитата...).
Уравнения движения же -- это нечто более узкое, потому что сами по себе они не задают ещё границ данной теории, нужно будет ещё к ним добавить какие-то утверждения, чтобы теория была логически замкнутой.
В принципе действия же те утверждения выражены математически.

Вопрос, должна ли всякая физтеория исходить из какого-то принципа действия поднимался Эйлером...
У него выходило, что должна, но аргументация, сами знаете, была какова...

[ddn]

Механику, основанную на принципе наименьшего действия, с ускорениями в лагранжиане получить НЕЛЬЗЯ! Я уже пытался - формулировка граничных условий невозможна. Через гамильтониан - можно (вводим два гамильтониана, скобку пуассона 3 на 3).

[zbl]

ddn писал(а):

Механику, основанную на принципе наименьшего действия, с ускорениями в лагранжиане получить НЕЛЬЗЯ! Я уже пытался - формулировка граничных условий невозможна.

Под "граничными условиями" что понимается?

[PSP]

ddn писал(а):

Механику, основанную на принципе наименьшего действия, с ускорениями в лагранжиане получить НЕЛЬЗЯ! Я уже пытался - формулировка граничных условий невозможна. Через гамильтониан - можно (вводим два гамильтониана, скобку пуассона 3 на 3).

А если лагранжиан задан параметрическим образом?Типа

$$\mathcal{L}(\tau),\dot x=f({\tau})$$

,где

$$\tau$$

-параметр?

[ddn]

zbl писал(а):

ddn писал(а):

Механику, основанную на принципе наименьшего действия, с ускорениями в лагранжиане получить НЕЛЬЗЯ! Я уже пытался - формулировка граничных условий невозможна.

Под "граничными условиями" что понимается?

Значения обобщенных координат в начальный $t_0$ и конечный $t_1$ ($t_0<t_1$) монент времени: $q_i(t)|_{t=t_0}=q_{i,0}$ и $q_i(t)|_{t=t_1}=q_{i,1}$ для каждой i-ой частицы. Физическое решение (траектории частиц), дающее минимум действия, отбирается именно среди траекторий с одними и теми же граничными условиями.

PSP писал(а):

А если лагранжиан задан параметрическим образом?Типа

$$\mathcal{L}(\tau),\dot x=f({\tau})$$

,где

$$\tau$$

-параметр?

А что это даст? Как вы будете записывать действие, которое есть интеграл от времени? Каким будет уравнение Лагранжа?

[zbl]

ddn писал(а):

Значения обобщенных координат в начальный $t_0$ и конечный $t_1$ ($t_0<t_1$) монент времени: $q_i(t)|_{t=t_0}=q_{i,0}$ и $q_i(t)|_{t=t_1}=q_{i,1}$ для каждой i-ой частицы. Физическое решение (траектории частиц), дающее минимум действия, отбирается именно среди траекторий с одними и теми же граничными условиями.

Точнее, наверное, говорить, что в начальной и конечной точке вариации $\delta q|_{t=t_0}=\delta q|_{t=t_1}=0$.
Ясно, что, если в мехсостояние добавить ускорение, то таких граничных условий уже недостаточно, чтобы фиксировать траекторию (уравнения движения уже не будут второго порядка).
Но нам достаточно, чтобы $\delta \dot q|_{t=t_0}=\delta \dot q|_{t=t_1}=0$.
Ага.
Вот и та лишняя константа, которую я никак не могу найти...
Уравнение-то третьего порядка, а констант в граничных условиях четыре: две координаты и две скорости...
Ну, и чтобы это значило... надо подумать...