2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Уравнение плоскости, проходящей через прямую.
Сообщение05.10.2013, 12:45 


10/09/13
210
Есть вопрос по задаче:

Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую $l$:

$\left\{\begin{matrix}
2x-y+z+4=0\\ 
x-2y-z=0\\
\end{matrix}\right.$

перпендикулярно плоскости $P: x-2y-z-8=0$

-------------

У меня возникла идея такая. Пусть $\vec {n_1}=(2;-1;1)\;\;\;\;\;\vec {n_2}=(1;-2;-1)$

Направляющий вектор прямой $l$ будет таким $\vec {l}=[\vec {n_1}\times \vec {n_2}]$

Так как нам необходимо, чтобы вектор нормали искомой плоскости был перпендикулярен к $\vec {n_1}$ и к $\vec {l}$, то вектор нормали к искомой плоскости $\vec {n}=[\vec {n_1}\times \vec {l}]$

Если найдем $\vec {n}=(A,B,C)$, то останется взять любую точку, принадлежащую прямой $l$, тогда уравнение плоскости будет $A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$.
Подозреваю, что точку на прямой $l$ можно найти взяв $z=0$ (или любым другим числом) и решить систему из двух уравнений с 2 неизвестными. Тогда найдем $(x_0;y_0;z_0)$ и выпишем ответ.

Верно ли это? Если да, то как-то повлияет тот факт, что прямая $l$ образована пересечением двух плоскостей, одна из которых параллельна плоскости $P$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение плоскости, проходящей через прямую.
Сообщение05.10.2013, 15:35 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Tosha в сообщении #770909 писал(а):
Так как нам необходимо, чтобы вектор нормали искомой плоскости был перпендикулярен к $\vec {n_1}$ и к $\vec {l}$

Нет. При чём тут $\vec {n_1}$-то? Он действительно должен быть перпендикулярен $\vec {l}$, и -- какому другому вектору?...

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение плоскости, проходящей через прямую.
Сообщение05.10.2013, 15:45 


11/11/12
172
Я решил "рабоче-крестьянским" способом (составив небольшую систему), и у меня получилось в результате такое уравнение: $$3x+3z+1=0.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение плоскости, проходящей через прямую.
Сообщение05.10.2013, 15:50 


10/09/13
210
ewert в сообщении #770962 писал(а):
Tosha в сообщении #770909 писал(а):
Так как нам необходимо, чтобы вектор нормали искомой плоскости был перпендикулярен к $\vec {n_1}$ и к $\vec {l}$

Нет. При чём тут $\vec {n_1}$-то? Он действительно должен быть перпендикулярен $\vec {l}$, и -- какому другому вектору?...
р

Потому как по условию нам нужна плоскость, перпендик. плоскости $P$, а это значит, что угол между нормалями прямой. Разве это неверно? А что за другой вектор - пока что не ясно.

-- 05.10.2013, 15:50 --


function в сообщении #770966 писал(а):
Я решил "рабоче-крестьянским" способом (составив небольшую систему), и у меня получилось в результате такое уравнение: $$3x+3z+1=0.$$

А что за систему решали?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение плоскости, проходящей через прямую.
Сообщение05.10.2013, 15:52 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Tosha в сообщении #770968 писал(а):
Потому как по условию нам нужна плоскость, перпендик. плоскости $P$

Именно. Но при чём тут плоскость, нормалью к которой является $\vec n_1$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение плоскости, проходящей через прямую.
Сообщение05.10.2013, 15:53 


10/09/13
210
ewert в сообщении #770969 писал(а):
Tosha в сообщении #770968 писал(а):
Потому как по условию нам нужна плоскость, перпендик. плоскости $P$

Именно. Но при чём тут плоскость, нормалью к которой является $\vec n_1$?


Аааа, вы имеете ввиду, что $\vec{n_2}$, а не $\vec{n_1}$? (да, извиняюсь, виноват). Действительно, нормаль у плоскости $P$ именно $\vec{n_2}$. А остальное -- верно?

-- 05.10.2013, 16:08 --

У меня получилось почему-то $3x+3z+8=0$.

$\vec{n}=(1;0;1)$

Точка, через которую проходит прямая $M\left(-\dfrac{8}{3};-\dfrac{4}{3};0\right)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение плоскости, проходящей через прямую.
Сообщение05.10.2013, 16:50 


05/10/13
80
У вас заданная плоскость и прямая праллельны и не пересекаются-это очевидно.
Просто натяните плоскость на направляющие векторы прямой и заданной плоскости и проведите ее через любую точку, заданной прямой.
Или возьмите векторное произведение вышеуказанных направляющих векторов и запишите уравнение плоскости, проходящей через любую точку, заданной прямой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение плоскости, проходящей через прямую.
Сообщение05.10.2013, 17:40 


11/11/12
172
Я рассуждал таким образом:
Наша искомая плоскость будет представима в виде: $ax+by+cz+d=0$, тогда нормальные векторы $\overrightarrow{n_{1}}\left\{ 1;\; -2; \; -1\right\} $ и $\overrightarrow{n_{2}}\left\{ a; \; b; \; c\right\} $ должны быть ортогональны, т. е. $\left (\overrightarrow{n_1}; \overrightarrow{n_2}  \right )=0$, отсюда получаем первое уравнение с коэффициентами $a,\, b,\, c$.
Далее от балды берём какие-нибудь 2 точки на нашей прямой и получаем ещё два уравнения. Полученную систему решаем относительно $a,\, b,\, c$, подставляем в уравнение плоскости, а далее производим сокращение на $d$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение плоскости, проходящей через прямую.
Сообщение05.10.2013, 18:14 
Заслуженный участник


12/08/10
1608
у вас в задаче даны 3 направления. 2 вам не хватит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение плоскости, проходящей через прямую.
Сообщение05.10.2013, 18:53 


05/10/13
80
Иллюстрация к задаче.
Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение плоскости, проходящей через прямую.
Сообщение05.10.2013, 19:49 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Tosha в сообщении #770970 писал(а):
Аааа, вы имеете ввиду, что $\vec{n_2}$, а не $\vec{n_1}$? (да, извиняюсь, виноват).

Нет, я немножко на другое намекал (это вышло лишь подспорьем). Вы же сами спрашивали:

Tosha в сообщении #770909 писал(а):
Если да, то как-то повлияет тот факт, что прямая $l$ образована пересечением двух плоскостей, одна из которых параллельна плоскости $P$?

Да, это именно случайное совпадение, и подобные совпадения следует тщательно игнорировать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение плоскости, проходящей через прямую.
Сообщение05.10.2013, 19:55 
Аватара пользователя


08/01/13
246
forexx, на чем делали рисунок ? Неплохо получилось :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение плоскости, проходящей через прямую.
Сообщение05.10.2013, 21:16 


05/10/13
80
Neos в сообщении #771057 писал(а):
forexx, на чем делали рисунок ? Неплохо получилось :-)

В матпакете.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group