Уравнение плоскости, проходящей через прямую.

[Tosha]

Есть вопрос по задаче:

Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую $l$:

$\left\{\begin{matrix} 2x-y+z+4=0\\ x-2y-z=0\\ \end{matrix}\right.$

перпендикулярно плоскости $P: x-2y-z-8=0$

-------------

У меня возникла идея такая. Пусть $\vec {n_1}=(2;-1;1)\;\;\;\;\;\vec {n_2}=(1;-2;-1)$

Направляющий вектор прямой $l$ будет таким $\vec {l}=[\vec {n_1}\times \vec {n_2}]$

Так как нам необходимо, чтобы вектор нормали искомой плоскости был перпендикулярен к $\vec {n_1}$ и к $\vec {l}$, то вектор нормали к искомой плоскости $\vec {n}=[\vec {n_1}\times \vec {l}]$

Если найдем $\vec {n}=(A,B,C)$, то останется взять любую точку, принадлежащую прямой $l$, тогда уравнение плоскости будет $A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$.
Подозреваю, что точку на прямой $l$ можно найти взяв $z=0$ (или любым другим числом) и решить систему из двух уравнений с 2 неизвестными. Тогда найдем $(x_0;y_0;z_0)$ и выпишем ответ.

Верно ли это? Если да, то как-то повлияет тот факт, что прямая $l$ образована пересечением двух плоскостей, одна из которых параллельна плоскости $P$?

[ewert]

Tosha в сообщении #770909 писал(а):

Так как нам необходимо, чтобы вектор нормали искомой плоскости был перпендикулярен к $\vec {n_1}$ и к $\vec {l}$

Нет. При чём тут $\vec {n_1}$-то? Он действительно должен быть перпендикулярен $\vec {l}$, и -- какому другому вектору?...

[function]

Я решил "рабоче-крестьянским" способом (составив небольшую систему), и у меня получилось в результате такое уравнение:

$$3x+3z+1=0.$$

[Tosha]

ewert в сообщении #770962 писал(а):

Tosha в сообщении #770909 писал(а):

Так как нам необходимо, чтобы вектор нормали искомой плоскости был перпендикулярен к $\vec {n_1}$ и к $\vec {l}$

Нет. При чём тут $\vec {n_1}$-то? Он действительно должен быть перпендикулярен $\vec {l}$, и -- какому другому вектору?...

р

Потому как по условию нам нужна плоскость, перпендик. плоскости $P$, а это значит, что угол между нормалями прямой. Разве это неверно? А что за другой вектор - пока что не ясно.

-- 05.10.2013, 15:50 --

function в сообщении #770966 писал(а):

Я решил "рабоче-крестьянским" способом (составив небольшую систему), и у меня получилось в результате такое уравнение:

$$3x+3z+1=0.$$

А что за систему решали?

[ewert]

Tosha в сообщении #770968 писал(а):

Потому как по условию нам нужна плоскость, перпендик. плоскости $P$

Именно. Но при чём тут плоскость, нормалью к которой является $\vec n_1$?

[Tosha]

ewert в сообщении #770969 писал(а):

Tosha в сообщении #770968 писал(а):

Потому как по условию нам нужна плоскость, перпендик. плоскости $P$

Именно. Но при чём тут плоскость, нормалью к которой является $\vec n_1$?

Аааа, вы имеете ввиду, что $\vec{n_2}$, а не $\vec{n_1}$? (да, извиняюсь, виноват). Действительно, нормаль у плоскости $P$ именно $\vec{n_2}$. А остальное -- верно?

-- 05.10.2013, 16:08 --

У меня получилось почему-то $3x+3z+8=0$.

$\vec{n}=(1;0;1)$

Точка, через которую проходит прямая $M\left(-\dfrac{8}{3};-\dfrac{4}{3};0\right)$

[forexx]

У вас заданная плоскость и прямая праллельны и не пересекаются-это очевидно.
Просто натяните плоскость на направляющие векторы прямой и заданной плоскости и проведите ее через любую точку, заданной прямой.
Или возьмите векторное произведение вышеуказанных направляющих векторов и запишите уравнение плоскости, проходящей через любую точку, заданной прямой.

[function]

Я рассуждал таким образом:
Наша искомая плоскость будет представима в виде: $ax+by+cz+d=0$, тогда нормальные векторы $\overrightarrow{n_{1}}\left\{ 1;\; -2; \; -1\right\} $ и $\overrightarrow{n_{2}}\left\{ a; \; b; \; c\right\} $ должны быть ортогональны, т. е. $\left (\overrightarrow{n_1}; \overrightarrow{n_2} \right )=0$, отсюда получаем первое уравнение с коэффициентами $a,\, b,\, c$.
Далее от балды берём какие-нибудь 2 точки на нашей прямой и получаем ещё два уравнения. Полученную систему решаем относительно $a,\, b,\, c$, подставляем в уравнение плоскости, а далее производим сокращение на $d$.

[Null]

у вас в задаче даны 3 направления. 2 вам не хватит.

[forexx]

Иллюстрация к задаче.

[ewert]

Tosha в сообщении #770970 писал(а):

Аааа, вы имеете ввиду, что $\vec{n_2}$, а не $\vec{n_1}$? (да, извиняюсь, виноват).

Нет, я немножко на другое намекал (это вышло лишь подспорьем). Вы же сами спрашивали:

Tosha в сообщении #770909 писал(а):

Если да, то как-то повлияет тот факт, что прямая $l$ образована пересечением двух плоскостей, одна из которых параллельна плоскости $P$?

Да, это именно случайное совпадение, и подобные совпадения следует тщательно игнорировать.

[Neos]

forexx, на чем делали рисунок ? Неплохо получилось

[forexx]

Neos в сообщении #771057 писал(а):

forexx, на чем делали рисунок ? Неплохо получилось

В матпакете.