задача по геометрии (вписанная окружность)

[ANTON255200]

Окружность, вписанная в треугольник ABC делит точкой касания сторону AC на отрезки m и n. Найти площадь треуг. ABC, если угол ABC = 120 градусов.
мои рассуждения
$AB = m + k$
$BC = n + k$
k-отрезки касательных, прилежащие к вершине B.
По теореме косинусов
$AC^2=AB^2 + BC^2 - 2AB \cdot AC \cdot \cos ABC$
$(m+n)^2=(m+k)^2+(n+k)^2-(m+k)(n+k)\cos 120$
$(m+n)^2=(m+k)^2+(n+k)^2 + (m+k)(n+k)$
При раскрытии оного и выражении k получается длинное выражение, содержащее еще и квадратный корень, работать с которым совсем невозможно. Проверьте, может я не так что-то сделал, я могу ошибиться в самых простых вычислениях

[gris]

Нет, Вы удачно начали. В первой формуле двоечку пропустили, но во второй всё правильно.
Вам $k$ искать не надо. Выразите радиус через него и найдите площадь по формуле $S=p r$. Раскрывайте Вашу форммулу и там в правой части всё хорошо получится.

[function]

Попробуйте действовать через радиус вписанной окружности $S=pr$ и формулу Герона. В результате получается во такое уравнение:

$$\cfrac{\sqrt{\left(m+n+\cfrac{r}{\sqrt{3}}\right)\cfrac{mnr}{\sqrt{3}}}}{m+n+\cfrac{r}{\sqrt{3}}}=r.$$

После некоторых упрощений и преобразований получается, что

$$S=\cfrac{-\left(m+n\right)\sqrt{3}+\sqrt{3\left(m+n\right)^{2}+4mn}}{2}\cdot\left(m+n+\cfrac{-\left(m+n\right)\sqrt{3}+\sqrt{3\left(m+n\right)^{2}+4mn}}{2\sqrt{3}}\right)$$