Геометрич место точек.

[freedom_of_heart]

Не получается написать уравнение $\{M\}:|MF|=d(M,l)\;\;\;F=(0;3)\;\;\;l:x-1$

Подозреваю, что это парабола с вершиной в точке $A$



Есть такая мысль:

Уравнение прямой, проходящей, через точку $F$ перпендикулярно прямой $l$ несложно, получается $y=3-x$.

Координату точки $B$ можно найти решив систему уравнений, получается $B(2;1)$. Можно найти расстояние $|FB|=2\sqrt{2}$.

Дальше приходит в голову перейти к новым координатам -- к зеленым осям и там дальше искать уравнения в тех координатах, а потом вернуться к старым. Но, думаю, что есть способ проще, может подскажите?

[ewert]

freedom_of_heart в сообщении #770959 писал(а):

Подозреваю, что это парабола с вершиной в точке $A$

Правильно подозреваете, а вот гадания тут ни к чему. Надо тупо приравнять друг другу расстояния от произвольной точки $(x,y)$ на плоскости до заданного фокуса и до заданной прямой, выписав их по стандартным формулам, а потом просто возвести в квадрат.

[freedom_of_heart]

ewert в сообщении #770963 писал(а):

freedom_of_heart в сообщении #770959 писал(а):

Подозреваю, что это парабола с вершиной в точке $A$

Правильно подозреваете, а вот гадания тут ни к чему. Надо тупо приравнять друг другу расстояния от произвольной точки $(x,y)$ на плоскости до заданного фокуса и до заданной прямой, выписав их по стандартным формулам, а потом просто возвести в квадрат.

Спасибо! Пусть $M(x,y)$ -- произвольная точка плоскости.

$|MF|=\sqrt{x^2+(y-3)^2}$

А вот как найти расстояние до заданной прямой?

-- Сб окт 05, 2013 19:50:56 --

Пусть $N(x_0;y_0)$ -- точка на прямой, в которую опущен перпендикуляр из точки $M$

$d(M,l)=\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}=\sqrt{(x-x_0)^2+(y-x_0+1)^2}$

Можно так?

[ИСН]

Знание о существовании квадратных корней помешает Вам найти расстояние до прямой.

[iifat]

Другими словами, чтобы найти расстояние от точки до прямой, можно, например, провести через точку прямую, перпендикулярную данной, найти точку пересечения и только потом использовать формулу расстояния точек. Или же, например, провести из любой точки прямой вектор в нашу, а потом спроектировать на перпендикуляр. Не стану перечислять ещё пару десятков способов.

[ewert]

iifat в сообщении #771036 писал(а):

можно, например, провести через точку прямую, перпендикулярную данной

Например -- можно; но, скажем -- не нужно. Есть стандартнаяформула для расстояния от точки до прямой, заданной своим общим уравнением. И эта формула идёт задолго до всех кривых второго порядка.

[iifat]

Можно, разумеется, найти готовую формулу. Можно, наверное, найти даже и задачу с решением — думаю, передовая математическая мысль уже таковое породила

[freedom_of_heart]

Спасибо!

$l: x-y-1=0$

$d(M,l)=\dfrac{|x-y-1|}{\sqrt{2}}$

$\sqrt{x^2+(y-3)^2}=\dfrac{|x-y-1|}{\sqrt{2}}$

$2x^2+2(y-3)^2=(x-y-1)^2$

$2x^2+2(y-3)^2=x^2-2x(y+1)+(y+1)^2$

$2x^2+2y^2-12y+18=x^2-2xy-2x+y^2+2y+1$

$x^2+2x+y^2-14y+2xy+17=0$

$(x+1)^2+(y-7)^2+2xy=49-16$

$(x+1)^2+(y-7)^2+2xy-35=0$

А как из этого сделать параболу?

[provincialka]

А это она и есть. Если хотите привести к каноническому виду, сделайте замену $x+y=u\sqrt2, x-y=v\sqrt2$, это поворот плоскости.

[ewert]

freedom_of_heart в сообщении #771076 писал(а):

А как из этого сделать параболу?

Молча. Во-первых, от Вас вовсе никакой параболы и не требовалось, а требовалось лишь тупо уравнение. А во-вторых, если хочется именно параболы, то приглядитесь к выплывающему у Вас интересному выражению $x^2+2xy+y^2$.