2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Геометрич место точек.
Сообщение05.10.2013, 15:27 
Аватара пользователя


30/05/11
205
СПб
Не получается написать уравнение $\{M\}:|MF|=d(M,l)\;\;\;F=(0;3)\;\;\;l:x-1$

Подозреваю, что это парабола с вершиной в точке $A$

Изображение

Есть такая мысль:

Уравнение прямой, проходящей, через точку $F$ перпендикулярно прямой $l$ несложно, получается $y=3-x$.

Координату точки $B$ можно найти решив систему уравнений, получается $B(2;1)$. Можно найти расстояние $|FB|=2\sqrt{2}$.

Дальше приходит в голову перейти к новым координатам -- к зеленым осям и там дальше искать уравнения в тех координатах, а потом вернуться к старым. Но, думаю, что есть способ проще, может подскажите?

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрич место точек.
Сообщение05.10.2013, 15:40 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
freedom_of_heart в сообщении #770959 писал(а):
Подозреваю, что это парабола с вершиной в точке $A$

Правильно подозреваете, а вот гадания тут ни к чему. Надо тупо приравнять друг другу расстояния от произвольной точки $(x,y)$ на плоскости до заданного фокуса и до заданной прямой, выписав их по стандартным формулам, а потом просто возвести в квадрат.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрич место точек.
Сообщение05.10.2013, 18:38 
Аватара пользователя


30/05/11
205
СПб
ewert в сообщении #770963 писал(а):
freedom_of_heart в сообщении #770959 писал(а):
Подозреваю, что это парабола с вершиной в точке $A$

Правильно подозреваете, а вот гадания тут ни к чему. Надо тупо приравнять друг другу расстояния от произвольной точки $(x,y)$ на плоскости до заданного фокуса и до заданной прямой, выписав их по стандартным формулам, а потом просто возвести в квадрат.


Спасибо! Пусть $M(x,y)$ -- произвольная точка плоскости.

$|MF|=\sqrt{x^2+(y-3)^2}$

А вот как найти расстояние до заданной прямой?

-- Сб окт 05, 2013 19:50:56 --

Пусть $N(x_0;y_0)$ -- точка на прямой, в которую опущен перпендикуляр из точки $M$

$d(M,l)=\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}=\sqrt{(x-x_0)^2+(y-x_0+1)^2}$

Можно так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрич место точек.
Сообщение05.10.2013, 18:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Знание о существовании квадратных корней помешает Вам найти расстояние до прямой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрич место точек.
Сообщение05.10.2013, 19:16 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
Другими словами, чтобы найти расстояние от точки до прямой, можно, например, провести через точку прямую, перпендикулярную данной, найти точку пересечения и только потом использовать формулу расстояния точек. Или же, например, провести из любой точки прямой вектор в нашу, а потом спроектировать на перпендикуляр. Не стану перечислять ещё пару десятков способов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрич место точек.
Сообщение05.10.2013, 19:35 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
iifat в сообщении #771036 писал(а):
можно, например, провести через точку прямую, перпендикулярную данной

Например -- можно; но, скажем -- не нужно. Есть стандартнаяформула для расстояния от точки до прямой, заданной своим общим уравнением. И эта формула идёт задолго до всех кривых второго порядка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрич место точек.
Сообщение05.10.2013, 20:00 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
Можно, разумеется, найти готовую формулу. Можно, наверное, найти даже и задачу с решением — думаю, передовая математическая мысль уже таковое породила :roll:

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрич место точек.
Сообщение05.10.2013, 20:18 
Аватара пользователя


30/05/11
205
СПб
Спасибо!

$l: x-y-1=0$

$d(M,l)=\dfrac{|x-y-1|}{\sqrt{2}}$

$\sqrt{x^2+(y-3)^2}=\dfrac{|x-y-1|}{\sqrt{2}}$

$2x^2+2(y-3)^2=(x-y-1)^2$

$2x^2+2(y-3)^2=x^2-2x(y+1)+(y+1)^2$

$2x^2+2y^2-12y+18=x^2-2xy-2x+y^2+2y+1$

$x^2+2x+y^2-14y+2xy+17=0$

$(x+1)^2+(y-7)^2+2xy=49-16$

$(x+1)^2+(y-7)^2+2xy-35=0$

А как из этого сделать параболу?

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрич место точек.
Сообщение05.10.2013, 21:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
А это она и есть. Если хотите привести к каноническому виду, сделайте замену $x+y=u\sqrt2, x-y=v\sqrt2$, это поворот плоскости.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрич место точек.
Сообщение05.10.2013, 21:05 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
freedom_of_heart в сообщении #771076 писал(а):
А как из этого сделать параболу?

Молча. Во-первых, от Вас вовсе никакой параболы и не требовалось, а требовалось лишь тупо уравнение. А во-вторых, если хочется именно параболы, то приглядитесь к выплывающему у Вас интересному выражению $x^2+2xy+y^2$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group