ВТФ для n=3

[VERESK]

Господа,
запишем уравнение теоремы Ферма следующим образом:
$a^3=c^3-b^3$
$c>b$
Пусть:$c=b+m$
Тогда:
$c^3-b^3=(b+m)^3 -b^3= b^3+3b^2m+ 3bm^2+m^3-b^3 $
$c^3-b^3=(b+m)^3 -b^3= 3b^2m+ 3bm^2+m^3$
В правой части уравнения получили многочлен:
$3b^2m+ 3bm^2+m^3$
Вопрос:может ли этот многочлен быть биномом Ньютона, т .е.
быть равным:
$3b^2m+ 3bm^2+m^3=(k+p)^3$?
Я полагаю, что от ответа на этот вопрос зависит ответ на
другой вопрос: имеет ли решение в целых числах уравнение
теоремы Ферма:
$a^3=c^3-b^3$?

[Deggial]

Сообщение отделено от темы
Тема перемещена из форума «Великая теорема Ферма» в форум «Карантин»
Причина переноса: предмет обсуждения темы не сформулирован чётко

VERESK, сформулируйте чётко вопрос, который Вы хотите обсудить. Неясно, что значит "многочлен может быть биномом Ньютона".
Если нужно, исправьте название темы.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

Замечание за попытку захвата чужой темы

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Великая теорема Ферма»
вернул

[VERESK]

Deggial, спасибо за возврат темы из карантина.
Вариант
уравнение теоремы Ферма:
$a^3+b^3=c^3$
$b>a$
Пусть: $b=a+k$
Тогда:
$a^3+(a+k)^3=2a^3+3a^2k+3ak^2+k^3=c^3$
Если целое число c>1 , то число $c^3$ можно
представить в виде суммы двух чисел в кубе, т. е.:
$c^3=(r+s)^3$
Вопрос: может ли выполняться равенство:
$2a^3+3a^2k+3ak^2+k^3=(r+s)^3$?
Другими словами, может ли многочлен:
$a^3+(a^3+3a^2k+3ak^2+k^3)$,
представляющий собой сумму слагаемых бинома Ньютона, к которой
добавлен первый член бинома, быть биномом Ньютона
$(r+s)^3$
или, в конечном итоге, числом $c^3$?

[lasta]

VERESK в сообщении #771517 писал(а):

Вопрос: может ли выполняться равенство:
$2a^3+3a^2k+3ak^2+k^3=(r+s)^3$?

А чем это отличается от формулировки ВТФ? Только тем, что сумма кубов представлена элементарной заменой их и увеличением числа переменных. Степень свободы решения в целых числах только увеличилась от этого.

[VERESK]

Приведенное мною уравнение можно записать следующим образом:
$k^3+3ak^2+3a^2k-(c^3-2a^3)=0$
Это кубическое уравнение относительно числа $k$.
Задаваясь числами $a, c$, это уравнение можно решать,
применяя формулы Кардано, и установить, является ли $k$
целым числом или нет.
Однако, вопрос заключается в другом: могут ли формулы:
$3b^2m+3bm^2+m^3$
$2a^3+3a^2k+3ak^2+k^3$
быть преобразованными в биномы Ньютона?
Другими словами, можно ли, задаваясь любыми значениями чисел $a, m$ в первом многочлене или $a, k$ во втором, получить
целае числа в кубе?
Уравнение $3b^2m+3bm^2+m^3$ -это "урезанный"
бином Ньютона.
Уравнение $2a^3+3a^2k+3ak^2+k^3$ -это
"избыточный" бином Ньютона.
Вопрос можно сформулировать проще: являются ли многочлены:
$3b^2m+3bm^2+m^3$
$2a^3+3a^2k+3ak^2+k^3$
биномами Ньютона?

[gris]

А что если объединить Ваши идеи с целью уменьшения числа переменных?
Пусть $b=a+k;\;c=a+n$. Тогда
$a^3+3a^2(k-n)+3a(k^2-n^2)+(k^3-n^3)=0$
Чтобы это было биномом Ньютона, надо, чтобы последнее слагаемое было кубом натурального числа.
То есть из начальной тройки кубов $(a^3,b^3,c^3)$ мы получаем тройку $(k^3, m^3, n^3)$, причём можно проследить, чтобы эти тройки не были пропорциональными. Тогда может быть можно что-то получить

[Someone]

gris в сообщении #771886 писал(а):

Чтобы это было биномом Ньютона, надо, чтобы последнее слагаемое было кубом натурального числа.

Боюсь, этого мало. По-моему, должны выполняться равенства $k^2-n^2=(k-n)^2$ и $k^3-n^3=(k-n)^3$. Так что с надеждой что-то вытащить из этой идеи, видимо, придётся расстаться. Или я что-то не заметил?

[gris]

Ну вот!
$k^3-n^3=(k-n)^3 \Rightarrow kn(k-n)=0$, откуда следует, что бином с началом $a^3$ невозможен.
Предположим, что бином существует, но с другими переменными, например $x,y$. Но тогда сделав замену $x\to a-x$ мы можем попытаться записать этот бином в виде бинома, начинающегося на $a^3$, что невозможно, как мы уже доказали.
Я отнюдь не утверждаю, что попытки результативны, я сам не пробовал, а только проникся идеями ТС .

[fermanyakam_ban]

VERESK в сообщении #770880 писал(а):

Господа,
запишем уравнение теоремы Ферма следующим образом:
$a^3=c^3-b^3$
$c>b$
Пусть:$c=b+m$
Тогда:
$c^3-b^3=(b+m)^3 -b^3= b^3+3b^2m+ 3bm^2+m^3-b^3 $
$c^3-b^3=(b+m)^3 -b^3= 3b^2m+ 3bm^2+m^3$
В правой части уравнения получили многочлен:
$3b^2m+ 3bm^2+m^3$
Вопрос:может ли этот многочлен быть биномом Ньютона, т .е.
быть равным:
$3b^2m+ 3bm^2+m^3=(k+p)^3$?
Я полагаю, что от ответа на этот вопрос зависит ответ на
другой вопрос: имеет ли решение в целых числах уравнение
теоремы Ферма:
$a^3=c^3-b^3$?

Опять слесарь Изнуренков (сантехник Козий Н.М.) решает ВТФ

[gris]

Интересно, что ВТФ в латинской транслитерации выглядит как WTF.
Было ли сие отмечено в анналах форума? Или я глупость сказал?

[lasta]

gris в сообщении #771886 писал(а):

Пусть $b=a+k;\;c=a+n$. Тогда
$a^3+3a^2(k-n)+3a(k^2-n^2)+(k^3-n^3)=0$

gris в сообщении #771910 писал(а):

Ну вот!
$k^3-n^3=(k-n)^3 \Rightarrow kn(k-n)=0$,

Уважаемый gris!
Как я понял, биномом должна быть не вся левая часть, а только
$3a^2(k-n)+3a(k^2-n^2)+(k^3-n^3)=-a^3$. Поиск противоречия через одно слагаемое $(k^3-n^3)$ не приведет к нахождению общего решения.
Найденное Вами тривиальное решение $a^3=0$ при указанном равенстве $k^3-n^3=(k-n)^3 \Rightarrow kn(k-n)=0$, не является единственным.
Поэтому Ваши сомнения, что попытки будут результативны вполне обоснованы.

[VERESK]

gris
решая уравнения:
$m^3+3bm^2+3b^2m-a^3=0$
$k^3+3ak^2+3a^2k-(c^3-2a^2)=0$
по формулам Кардано как кубические относительно переменных
$m, k$ соответственно, я получил, если не ошибся,
иррациональные значения чисел $m,k$

[Коровьев]

Доказывать иррациональность корней кубического уравнения с помощью формул Кардано дохлое дело . Они, формулы, не дают в явном виде решения даже простейшего кубического уравнения. К примеру, уравнение
$x^3-7x+6=0$
имеет корни $x=1,2,-3.$
Попробуйте их найти с помощью формул Кардано.

[VERESK]

Уважаемый господин Коровьев,
я произвел расчет Вашего уравнения по формулам Кардано.
Из расчета следует, что дискриминант $D<0$
В этом случае уравнение имеет три действительных решения,
но корни находятся с помощью тригонометрических функций,
поэтому корни получаются дробными.
Сделать окончательный вывод о том, что корни Вашего уравнения
являются целыми или дробными (иррациональными) не представляется возможным.

Я также выполнил расчет для моего уравнения:
$m^3+3bm^2+3b^2m-a^3=0$
Я задался произвольными значениями чисел $b, m$,
рассчитал по этому уравнению значение числа обозначенного как $a^3$. Само число $a$ получилось дробным.
Затем по этому уравнению "обратным ходом", подставляя значения принятого
числа $b$ и найденного числа $a^3$,
я по формулам Кардано определил число $m$. Оно получилось равным ранее принятому.
При этом в приведенном уравнении:
$y^3+py+q=0$
всегда число $p=0$, число $q<0$,
дискриминант $D>0$.
В этом случае имеется одно действительное решение уравнения:
$m^3+3bm^2+3b^2m-a^3=0$
Я не утверждаю, что чиcло $a$ не может быть целым числом,
но я уверен, что это уравнение решается методом Кардано.
Аналогичные расчеты я выполнил для уравнения:
$k^3+3ak^2+3a^2k+2a^3- c^3=0$,
задаваясь значениями чисел $a, k$.
Я получил аналогичные результаты.