неравноточные измерения

[--mS--]

Нет, дисперсия $y_i$ не единица. Чтобы сосчитать дисперсию, отделите в числителе $x_i$ от остальных $x_j$ - множитель при нём будет $(1-w_i)$, где $w_i$ - множитель при $x_i$ в $\hat a$.

[AndreyL]

Если я правильно Вас понимаю, то при $w_i=\frac{1}{\sigma_i^2} \Big/ \sum_{j=1}^{n} \frac{1}{\sigma_j^2}$ величина $y_i=\frac{x_i-\hat{a}}{\sigma_i}(1-w_i)$ подчиняется нормальному распределению с центром 0 и стандартом 1.

[_hum_]

--mS--
Спасибо, что не потрудились все это разобрать и изложить доказательство (для меня совсем не очевидное. Может, поэтому я и не понимал, о чем вы ведете речь, полагая, что все должно быть сразу видно из примера). Попробую на свежую голову разобрать. Но при прочтении у меня сразу возник вопрос: вы определяете два класса несмещенных оценок $ K_0$, $ \tilde{K_0}$ параметра $a$ для семейств распределений, соответственно:

$\mathcal{P} = \big\{\mathcal{N}(a,\sigma^2)\otimes \mathcal{N}(a,\gamma\sigma^2) \mid a\in\mathbb{R}, \sigma \geq 0 \big\}$, где $\gamma$ - некоторая известная константа.

$\Tilde{\mathcal{P}} = \big\{\mathcal{N}(a,\sigma_0^2 + \sigma_1^2)\otimes \mathcal{N}(a,\sigma_0^2 + \sigma_2^2) \mid a\in\mathbb{R}, \sigma_0 \geq 0 \big\}$, где $\sigma_1, \sigma_2$ - некоторые известные константы.

И говорите, что $ \tilde{K_0} \subset K_0$. Но разве это так? Ведь семейства $\mathcal{P}, \Tilde{\mathcal{P}}$ не подчинены друг другу множественным отношением включения, поскольку, например,

$\mathcal{N}(a,\sigma_1^2/2)\otimes \mathcal{N}(a,\gamma \sigma_1^2/2)\, \in \mathcal{P}$, но $ \not \in \Tilde{\mathcal{P}}$

$\mathcal{N}(a,t^2 + \sigma_1^2)\otimes \mathcal{N}(a, t^2 + \sigma_2^2)\, \in \Tilde{\mathcal{P}}$, но $\not \in \mathcal{P}$ при $t^2 \neq (\gamma\sigma_1^2 - \sigma_2^2)/(1-\gamma).$

[--mS--]

Извините, _hum_, я считаю, что и без того потрудилась безо всякой пользы для себя, разобрав для Вас и без того очевидный мне результат, изложенный у Лемана. Потрудитесь теперь и Вы без меня. Ерунду, простите, какую-то несёте. При чём тут какие-то отношения включения параметрических семейств распределений? Множество случайных величин, являющихся борелевскими функциями от данных с.в. $X$ и $Y$ и имеющих математическое ожидание, тождественно равное $a$, не может измениться от изменения каких-то обозначений каких-то буковок. Вся разница в этих семействах лишь в том, что в первом $\gamma$ известно, во втором - является неизвестным параметром вместе с (вместо) $\sigma_0^2$. И множества значений параметров (т.е. дисперсий) сужены. Всё, больше я сюда не пишу. Бессмыслица какая-то вместо реальных попыток разобраться.

-- Сб окт 05, 2013 01:22:49 --

AndreyL в сообщении #770721 писал(а):

Если я правильно Вас понимаю, то при $w_i=\frac{1}{\sigma_i^2} \Big/ \sum_{j=1}^{n} \frac{1}{\sigma_j^2}$ величина $y_i=\frac{x_i-\hat{a}}{\sigma_i}(1-w_i)$ подчиняется нормальному распределению с центром 0 и стандартом 1.

Нет, Вы неправильно понимаете. Вы выше сформулировали предположение: величина $y_i=\frac{x_i-\hat a}{\sigma_i}$ имеет стандартное нормальное распределение. Это предположение неверно: сосчитайте дисперсию, выделив независимые слагаемые в числителе, и убедитесь, что она не единичная.

[_hum_]

--mS-- в сообщении #770747 писал(а):

Ерунду, простите, какую-то несёте. При чём тут какие-то отношения включения параметрических семейств распределений?

При том, что если $\mathcal{P}^1$ не является подмножеством $ \mathcal{P}^2$, то утверждать, что

$K_0^1 = \{g \mid \int g\, dP_\theta = \theta \text{ для всякого } P_\theta \in \mathcal{P}^1 \}$

содержит в себе

$K_0^2 = \{g \mid \int g\, dP_\theta = \theta \text{ для всякого } P_\theta \in \mathcal{P}^2 \} $

некорректно. А вы именно так и поступаете:

--mS-- в сообщении #770656 писал(а):

Неизвестность $\sigma_0$ всего лишь означает, что класс $K_0$ уменьшился

Причем используете это потом в дальнейшем, апеллируя к тому, что в новом $K_0$ не могло появиться новой более хорошей оценки, чем $a^*$.

[_hum_]

--mS--
Вы просто очень неаккуратно написали, потому и возникло недопонимание.

(Оффтоп)

А потом в свойственной вам манере отношения к недопонимающим как злонамеренно вас троллящих, предпочли ретироваться, проявив тем самым чванство по отношению к собеседнику.

Итак, насколько я понял, идея была использовать нечто аналогичное решению задачи 2.10 из Лемана, для которого в свою очередь предлагалось использовать факт из примера 2.3 $(iii)$ :

для всякого фиксированного $\gamma \geqslant 0$ рассмотрим семейство выборочных (для случая $m=1, n=1$) распределений

$$\mathcal{P}^{(\gamma)} = \big\{\mathcal{N}(a,\sigma^2)\otimes\mathcal{N}(a,\gamma \sigma^2)\mid a\in\mathbb{R}, \sigma \geq 0\big\}$$

и соответствующий ему класс несмещенных оценок для параметра $a$

$$K_0[\mathcal{P}^{(\gamma)}] = \{g:\mathbb{R}\times\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \mid \mathbf{E}_P [g] = a \text{ для любого } P \in \mathcal{P}^{(\gamma)}\}.$$

Утверждениe 1 (Леман). С учетом введенных обозначений в классе несмещенных оценок $K_0[\mathcal{P}^{(\gamma)}]$ существует оценка $a^{*}_\circ$ с равномерно наименьшей дисперсией (НРД), то есть,

$$\mathbf{D}_{P}[a^{*}_\circ] \leq \mathbf{D}_{P}[g] \text{ для любых } g \in K_0[\mathcal{P}^{(\gamma)}], P\in \mathcal{P}^{(\gamma)},$$

Более того, она выписывается в явном виде

$$a^{*}_\circ(x_1,x_2) = \alpha x_1 + (1-\alpha)x_2, \quad \alpha = \frac{1}{\gamma + 1}.$$

Задача 2.10 заключалась в доказательстве следующего предложения.

Пусть $\mathcal{P}^{(\geqslant 0)} = \cup_{\gamma}\mathcal{P}^{(\gamma)}$.

Предложение. В классе несмещенных оценок $K_0[\mathcal{P}^{(\geqslant 0)}]$ не существует оценки с НРД.

Ход его доказательства может быть таким. Предположим, что такая оценка $a^*$ существует, то есть,

$$\mathbf{D}_{P}[a^*] \leq \mathbf{D}_{P}[g] \text{ для любых } g \in K_0[\mathcal{P}^{(\geqslant 0)}], P\in \mathcal{P}^{(\geqslant 0)}.$$

Но тогда поскольку для всякого $\gamma\geqslant 0$ выполняются включения $\mathcal{P}^{(\gamma)} \subset \mathcal{P}^{(\geqslant 0)}$, соответственно, $K_0[\mathcal{P}^{(\geqslant 0)}] \subset K_0[\mathcal{P}^{(\gamma)}]$, то она же будет оценкой с НРД и в каждом $K_0[\mathcal{P}^{(\gamma)}]$, а значит, в силу известного факта о единственности такой оценки, она должна будет $[\mathcal{P}^{(\gamma)}]$-почти наверное совпадать с $a^{*}_\circ$. Другими словами, для любого $\gamma$ должно будет выполняться,
$a^*(x_1,x_2) = \alpha x_1 + (1-\alpha)x_2\quad [\mathcal{P}^{(\gamma)}]$-п.н., что невозможно - слева функция зависит только от $x_1, x_2$, справа еще и от $\gamma$.
Ч.т.д.


Поскольку cемейство AndreyL

$$\mathcal{P}^{\sigma_1, \sigma_2} = \big\{\mathcal{N}(a,\sigma_0^2 + \sigma_1^2)\otimes\mathcal{N}(a,\sigma_0^2 + \sigma_2^2 )\mid a\in\mathbb{R}, \sigma_0 \geq 0\big\}$$

можно представить в виде

$\mathcal{P}^{\sigma_1, \sigma_2} = \cup_{\gamma \in \big(1, \frac{\sigma_2^2}{\sigma_1^2}\big]}\mathcal{P}^{(\gamma) $ для случая $\sigma_1 < \sigma_2$,
$\mathcal{P}^{\sigma_1, \sigma_2} = \cup_{\gamma \in \big[\frac{\sigma_2^2}{\sigma_1^2},1\big)}\mathcal{P}^{(\gamma) $ для случая $\sigma_1 > \sigma_2$,

то аналогичные рассуждения должны проходить и для него.

[Александрович]

Из полученной выборки ${x_1,...,x_n}$ создадим другую ${x_1-x_2,..., x_{n-1}-x_n}$ с нулевым матожиданием и ско отдельного измерения $2\sigma_0^2+\sigma_i^2+\sigma_0_{i-1}^2$. Найдём нулевое средневзвешенное среднее меняя $\sigma_0$.

[AndreyL]

Александрович в сообщении #771270 писал(а):

Из полученной выборки ${x_1,...,x_n}$ создадим другую ${x_1-x_2,..., x_{n-1}-x_n}$ с нулевым матожиданием и ско отдельного измерения $2\sigma_0^2+\sigma_i^2+\sigma_0_{i-1}^2$. Найдём нулевое средневзвешенное среднее меняя $\sigma_0$.

Не совсем понял идею. Вводим новую случайную величину $z_i=x_i-x_{i+1}, i=1...n-1$. Дисперсия $z_i$ в этом случае $2\sigma_0^2+\sigma_i^2+\sigma_0_{i+1}^2$. А дальше что? Менять $\sigma_0^2$ пока средневзвешенное по новой выборке $Z$ не совпадет со средневзвешенным по исходной выборке $X$? Или как-то иначе?

Можно, наверное, задействовав все пары, увеличить объем новой выборки до $\frac{n(n-1)}{2}$, но все равно не понятно.

[Александрович]

AndreyL в сообщении #773164 писал(а):

А дальше что? Менять $\sigma_0^2$ пока средневзвешенное по новой выборке $Z$ не совпадет со средневзвешенным по исходной выборке $X$?

Менять пока средневвешенное среднее не станет равной нулю.

[AndreyL]

Понятно! Правда и тут иногда возникает ситуация, когда в матрице $z_{ij}=x_i-x_j$ все элементы ниже главной диагонали одного знака - если выборка вдруг оказалась сортированной.

[_hum_]

AndreyL в сообщении #773164 писал(а):

Вводим новую случайную величину $z_i=x_i-x_{i+1}, i=1...n-1$.

Надеюсь, вы осознаете, что в этом случае $z_i, i=1...n-1$ будут зависимыми случайными величинами, а значит, к ним не могут быть применимы методы классической статистики.

[AndreyL]

--mS-- в сообщении #770747 писал(а):

AndreyL в сообщении #770721 писал(а):

Если я правильно Вас понимаю, то при $w_i=\frac{1}{\sigma_i^2} \Big/ \sum_{j=1}^{n} \frac{1}{\sigma_j^2}$ величина $y_i=\frac{x_i-\hat{a}}{\sigma_i}(1-w_i)$ подчиняется нормальному распределению с центром 0 и стандартом 1.

Нет, Вы неправильно понимаете. Вы выше сформулировали предположение: величина $y_i=\frac{x_i-\hat a}{\sigma_i}$ имеет стандартное нормальное распределение. Это предположение неверно: сосчитайте дисперсию, выделив независимые слагаемые в числителе, и убедитесь, что она не единичная.

Похоже, забыл про дисперсию среднего, а она равна как раз $d_m=1 \Big/ \sum_{j=1}^{n} \frac{1}{\sigma_j^2}$. Тогда получается, что величина $y_i=\frac{x_i-\hat{a}}{\sqrt{\sigma_i^2+d_m}}$ подчиняется нормальному распределению с центром 0 и стандартом 1. И, соответственно, $\chi^2=\sum_{i=1}^n y_i^2$ подчиняется распределению хи-квадрат с $n-1$ степенями свободы. Или я опять ошибся?

[--mS--]

AndreyL в сообщении #773435 писал(а):

Тогда получается, что величина $y_i=\frac{x_i-\hat{a}}{\sqrt{\sigma_i^2+d_m}}$ подчиняется нормальному распределению с центром 0 и стандартом 1.

Разумеется, нет. Ещё раз: сгруппируйте одинаковые слагаемые в числителе и сосчитайте дисперсию.

[AndreyL]

Понятно! Посчитал, получается $y_i=\frac{x_i-\hat{a}}{\sigma_i}\frac{1}{1-w_i}$ (если не ошибся). Теперь, правда, не совсем понятно: если статистика $\chi^2=\sum_{i=1}^n y_i^2$ подчиняется распределению хи-квадрат, то как посчитать степени свободы?

[--mS--]

Разве что $y_i=\frac{x_i-\hat{a}}{\sigma_i}\frac{1}{\sqrt{1-w_i}}$. Иначе дисперсия не единица.

Распределение суммы квадратов таких величин никак не может быть хи-квадрат. Математическое ожидание этой суммы $n$, а дисперсия из-за зависимости меньше $2n$.