неравноточные измерения

[_hum_]

Нет, вы что-то не так поняли. Почитайте, например, Г.И. Ивченко, И.Ю. Медведев. Введение в мат. статистику, 2010. , параграф 3.8 Доверительное оценивание, п. 1 Построение доверительного интервала с помощью центральной статистики.

Основная задача - найти подходящую центральную величину (у них неудачно используют термин статистика, тогда как на самом деле она не является таковой), чтобы она давала хорошую доверительную область (в нашем случае будет не интервал, а область). Мой вариант с центральной величиной $Q(X;\theta)$ дает плохую область - неограниченную, потому не подходит. Возможно, попробовать "в лоб" - использовать центральную величину $G(X;\theta) = \sum_i \ln F(X_i;\theta)$. Проверить для нее, что из себя представляют кандидаты на доверительные области, а именно, $\Theta(X) = \{\theta: t_1 < G(X;\theta) < t_2 \}$.

-- Пт окт 04, 2013 03:26:26 --

AndreyL в сообщении #770417 писал(а):

Совершенно верно, эта схема получается автоматически после того, как будет доказано, что $d_0 \ll d_i$. А как это доказать?

Ничего доказывать не надо. Еще раз, о.м.п. включает все случаи сразу, в том числе и случай $d_0 = 0$. Она сама способна его "унюхивать" и выдавать вам тогда "средневзвешенное".

[--mS--]

AndreyL в сообщении #770362 писал(а):

Не понял - не существует в смысле и существовать не может, или просто ее пока не нашли? Честно говоря я не увидел вразумительного доказательства невозможности эффективной оценки. Ткните пальцем, пожалуйста, где конкретно это было.

_hum_ в сообщении #770371 писал(а):

Не совсем так. Не была доказана невозможность существования эффективной оценки для случая, о котором идет речь в данной теме. Хотя и похоже на то...

Что значит "не была"? Да, я не умею доказывать такие вещи. Зато Леман умеет.

--mS-- в сообщении #768779 писал(а):

Есть теорема у Лемана в "Теории точечного оценивания" (теорема 1.1 главы 2), с помощью которой (видимо) там же предлагается (см. окончание примера 2.3) доказать несуществование таковой оценки для двух наблюдений. И там же куча ссылок.

Пример 2.3 у Лемана, случаи (ii) и (iii): две независимые нормальные выборки с одним и тем же средним и дисперсиями $\sigma^2$ и $\tau^2$. Если отношение $\sigma^2/\tau^2=\gamma$ известно, то оценка, которую рисовал Александрович, является эффективной оценкой для среднего. Если отношение дисперсий неизвестно, то эффективной оценки не существует ((с) E.Lehmann).

[AndreyL]

Ясно, Спасибо, посмотрю.
Такой вопрос - а существует ли однофакторный дисперсионный анализ без повторений? Ведь это и должен быть критерий $d_0 \ll d_i$ и $d_0 \gg d_i$, который даст возможность обосновать использование той или другой предельной схемы.

[--mS--]

??? В однофакторном дисперсионном анализе выборки имеют одинаковые дисперсии, но, возможно, разные средние.

[AndreyL]

У Уэлча возможны и разные дисперсии (вот в этом обсуждении есть ссылки на статьи), но эти внутригрупповые дисперсии в любом случае должны оцениваться по выборкам, т.е. это анализ в повторениями. Я же спрашиваю об анализе без повторений, когда внутригрупповые дисперсии просто известны и оценивать по выборкам их не надо.

[_hum_]

--mS-- в сообщении #770478 писал(а):

Пример 2.3 у Лемана, случаи (ii) и (iii): две независимые нормальные выборки с одним и тем же средним и дисперсиями $\sigma^2$ и $\tau^2$. Если отношение $\sigma^2/\tau^2=\gamma$ известно, то оценка, которую рисовал Александрович, является эффективной оценкой для среднего. Если отношение дисперсий неизвестно, то эффективной оценки не существует ((с) E.Lehmann).

Наличие/отсутствие эффективной оценки, насколько я понимаю, очень сильно зависит от семейства распределений. В указанном примере, как мне кажется, оно не совпадает с тем, о котором идет речь в задаче ТС. Потому, на мой взгляд, не совсем корректно переносить его результаты.
(И не подскажете, на какой странице находится задача 2.10, на которую ссылается Леман? Никак не могу найти.)

--mS-- в сообщении #770357 писал(а):

Почему же не решена? Ответ выше - никак. Эффективных оценок не существует. Поэтому если хотите получить какое-то решение, следует менять требования к нему.

Ну, наверное для ТС первое естественное требование - недоминируемость оценки, в частности, используемой им на данном этапе о.м.п. (есть ли какие-то средства для этого?).

[--mS--]

AndreyL в сообщении #770491 писал(а):

Я же спрашиваю об анализе без повторений, когда внутригрупповые дисперсии просто известны и оценивать по выборкам их не надо.

Прошу прощения, не поняла сразу. Тут я пас.

_hum_ в сообщении #770514 писал(а):

Наличие/отсутствие эффективной оценки, насколько я понимаю, очень сильно зависит от семейства распределений. В указанном примере, как мне кажется, оно не совпадает с тем, о котором идет речь в задаче ТС. Потому, на мой взгляд, не совсем корректно переносить его результаты.
(И не подскажете, на какой странице находится задача 2.10, на которую ссылается Леман? Никак не могу найти.)

После гл. 2 перед гл. 3 задачи. Разумеется, не совпадает. То, что рассмотрено у Лемана, есть частный-пречастный случай модели ТС. Когда у первых $n$ наблюдений параметры $a$, $\sigma_0^2+\sigma_1^2$, у следующих $m$ - соответственно, $a$ и $\sigma_0^2+\sigma_2^2$. И отношение дисперсий известной постоянной не является.

(Оффтоп)

Давайте перестанем переливать из пустого в порожнее? Откройте пример и сравните.

[_hum_]

--mS-- в сообщении #770525 писал(а):

Разумеется, не совпадает. То, что рассмотрено у Лемана, есть частный-пречастный случай модели ТС. Когда у первых $n$ наблюдений параметры $a$, $\sigma_0^2+\sigma_1^2$, у следующих $m$ - соответственно, $a$ и $\sigma_0^2+\sigma_2^2$. И отношение дисперсий известной постоянной не является.

Извините, но у Лемана в (iii) класс распределений допускает всевозможные дисперсии, а у ТС только отличающиеся друг от друга на известную величину (более узкий). Так что вполне возможно, что для более узкого класса эффективная оценка все же существует.

[Александрович]

Как вариант. Сначала принимаем $\sigma_0=0$, с учётом средневзвешенных коэффициентов находим оценку $\sigma_0^*$. Пересчитываем для полученных средневзвешенных коэффициентов, находим следующую оценку и т.д. Должно же ведь когда-то устаканиться?

[AndreyL]

Александрович в сообщении #770552 писал(а):

Как вариант. Сначала принимаем $\sigma_0=0$, с учётом средневзвешенных коэффициентов находим оценку $\sigma_0^*$. Пересчитываем для полученных средневзвешенных коэффициентов, находим следующую оценку и т.д. Должно же ведь когда-то устаканиться?

Нет, не должно. Тут основной вопрос: как находим оценку $\sigma_0^*$? Формулу сможете выписать?

[Александрович]

AndreyL в сообщении #770557 писал(а):

Тут основной вопрос: как находим оценку $\sigma_0^*$? Формулу сможете выписать?

Так выписывал уже. Ну ту, которую критиковали все не щадя сил своих.

AndreyL в сообщении #770557 писал(а):

Александрович в сообщении #770552 писал(а):

Как вариант. Сначала... Должно же ведь когда-то устаканиться?

Нет, не должно.

Значит в вашем случае вариант не прошёл. Встречу подобную задачу в своей практике, проверю его.

[--mS--]

_hum_ в сообщении #770546 писал(а):

Извините, но у Лемана в (iii) класс распределений допускает всевозможные дисперсии, а у ТС только отличающиеся друг от друга на известную величину (более узкий). Так что вполне возможно, что для более узкого класса эффективная оценка все же существует.

Но не В постоянную, да ещё и известную величину. Это никак не более узкий класс. Ещё раз прочтите, чем отличается случай (ii) от (iii).

[_hum_]

--mS-- в сообщении #770580 писал(а):

Но не В постоянную, да ещё и известную величину. Это никак не более узкий класс. Ещё раз прочтите, чем отличается случай (ii) от (iii).

Для конкретности, возьмем у AndreyL случай $n = 2$. У Лемана это соответствует $m = 1, n = 1$. Тогда у AndreyL семейство выборочных распределений

$$\mathcal{P}_{AndreyL} = \big\{\mathcal{N}(a, \sigma_0^2 + \sigma_1^2)\otimes\mathcal{N}(a, \sigma_0^2 + \sigma_2^2) \mid a \in \mathbb{R}, \sigma_0 \geq 0\big\},$$

где $\sigma_1, \sigma_2$ - известные неотрицательные. У Лемана же (пример (iii) ):

$$\mathcal{P}_{Lemann} = \big\{\mathcal{N}(a, \sigma^2)\otimes\mathcal{N}(a, \tau^2) \mid a \in \mathbb{R}, \sigma, \tau \geq 0\big\}.$$

Очевидно же, что $\mathcal{P}_{AndreyL} \subsetneqq \mathcal{P}_{Lemann}$. То есть, $\mathcal{P}_{AndreyL}$ более узкий класс.

(К тому же у Лемана рассматривается оценка одного матожидания $a$, а не векторного параметра $\theta = (a, \sigma_0^2)$. А для векторных понятие эффективности оценки имеет отличия.)

А случай (ii) вообще при чем здесь? Там ведь одинаковые дисперсии рассматриваются.

-- Пт окт 04, 2013 18:12:33 --

AndreyL в сообщении #770482 писал(а):

Ведь это и должен быть критерий $d_0 \ll d_i$ и $d_0 \gg d_i$, который даст возможность обосновать использование той или другой предельной схемы.

AndreyL, вы, я так смотрю, продолжаете гнуть линию, что вам надо сперва убедиться в возможности использовать случай с нулевой дисперсией, а потом применять расчетную схему для него? Это же глупо, неужели вы не понимаете?

[--mS--]

Ну у меня мозги засохли, мне трудно понять Лемана, ну Вам-то это сделать проще, почему надо докапываться до старого человека с тем, что можно сделать самому? Вам шашечки или ехать? Такое ощущение, что вместо поиска истины Вам непременно нужно просто настоять на своём любыми средствами, пусть даже отысканием мелочей, не имеющих очевидно никакого отношения к делу.

Всё, получите доказательство и надеюсь закрыть на этом бессмысленную серию Ваших "не верю".

Пусть $m=1$, $n=1$. Если и это Вам покажется частным случаем, который не переносится на общий, то упр: перенести.
Пусть $K_0$ - класс несмещённых оценок в случае, когда $X\sim N_{a,\sigma^2}$, $Y\sim N_{a,\tau^2}$, $a$, $\sigma^2$, $\tau^2$ неизвестны, зато известно $\gamma=\sigma^2/\tau^2$. В этом классе существует оценка $a^*$ с равномерно минимальной дисперсией: для этого $\gamma$ (каким бы оно ни было), для всякого $a$ и любой $a^{***}\in K_0$

$$\mathsf D_{\gamma, a}a^* \leq \mathsf D_{\gamma, a} a^{***}.$$

Причём эта эффективная оценка выписывается в явном виде и имеет вид

$$a^*=a^*(\alpha)=\alpha X+(1-\alpha)Y, \,\,\alpha=\dfrac{1}{\gamma+1}.$$

Пусть теперь $\gamma$ неизвестно. Например,

$$\gamma=\gamma(\sigma_0^2)=\dfrac{\sigma_0^2+\sigma_1^2}{\sigma_0^2+\sigma_2^2}.$$

Неизвестность $\sigma_0$ всего лишь означает, что класс $K_0$ уменьшился: оценки, которые в нём были, по-прежнему несмещены, вот только некоторые из них перестали быть оценками (статистиками), потому как зависят от неизвестного $\gamma$ (т.е. от $\sigma_0$). В частности, $a^*(\alpha)$ при каждом числовом значении $\alpha\in[0,\,1]$ (т.е. при каждом числовом значении $\sigma_0^2=c$) там есть, а вот с коэффициентом

$$\alpha(\sigma_0^2)=\dfrac{\sigma_0^2+\sigma_1^2}{2\sigma_0^2+\sigma_1^2+\sigma_2^2}$$

оттуда выпала, нет там такой больше, поскольку этот коэффициент теперь есть функция от неизвестного параметра $\sigma_0^2$.

Но, снова, при каждом конкретном значении параметра $\alpha$ (или $\sigma_0^2$) - скажем, при $\alpha=\alpha_0$ (соответственно, при $\sigma_0^2=c$ - какое-то число) в классе $K_0$ есть оценка $a^*(\alpha_0)$, которая в этой конкретной точке обладает минимальной дисперсией: для любого $a$ и любой оценки
$a^{***}\in K_0$

$$\mathsf D_{\sigma_0^2=c, a}a^*(\alpha_0) \leq \mathsf D_{\sigma_0^2=c, a} a^{***}.$$

Всё. Эффективная оценка в классе $K_0$, если бы такая существовала, должна совпадать п.н. со случайной величиной $a^{*}(\alpha)$, которая оценкой (статистикой) не является. Должна совпадать, потому что при произвольном фиксированном $\sigma_0^2=c$ и произвольном $a$ их дисперсии просто одинаковы. Т.е. они одинаковы при всех $a, \sigma_0^2$.

(Оффтоп)

На всякий случай док-во того общеизвестного факта, что если $\mathsf E\xi=\mathsf E\eta=c$ и при всяком $\zeta$ таком, что $\mathsf E\zeta=c$ выполнено $\mathsf D\xi=\mathsf D\eta\leq \mathsf D\zeta$, то $\xi=\eta$ п.н.

Возьмём $\zeta=(\xi+\eta)/2$ - её матожидание какое надо. В равенство

$$\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2+\left(\dfrac{a-b}{2}\right)^2=\dfrac{a^2+b^2}{2}$$

вместо $a$ подставим $a=\xi-c$, вместо $b$ подставим $b=\eta-c$. Возьмём матожидания обеих частей.

$$\mathsf D\zeta +\mathsf E\dfrac{(\xi-\eta)^2}{4}= \mathsf D\xi = \mathsf D\eta.$$

Вывод: $\mathsf E(\xi-\eta)^2 = 0$, т.е. $\xi=\eta$ п.н.

[AndreyL]

Друзья! Поправьте, если я ошибаюсь.
По идее при $d_0=0$ случайная величина $y_i=\frac{x_i-\hat{a}}{\sigma_i}$, где $\hat{a}=\sum_{i=1}^{n} \frac{x_i}{\sigma_i^2} \Big/ \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{\sigma_i^2}$, подчиняется нормальному распределению с центром 0 и стандартом 1. Тогда статистика $\chi^2=\sum_{i=1}^{n} y_i^2$ должна подчиняться распределению хи-квадрат с $n-1$ степенями свободы.
Может ли это служить критерием проверки гипотез $d_0 \ll d_i$ и $d_0 \gg d_i$? Если да, то как им правильно воспользоваться?