неравноточные измерения

[Александрович]

AndreyL в сообщении #769967 писал(а):

Измерений бывает от двух до двух десятков,

Каждое измерение своим датчиком?

[AndreyL]

Александрович в сообщении #769982 писал(а):

Каждое измерение своим датчиком?

Одним и тем же датчиком, просто материал немного разный - там испарение лазером делается, что вылетело - то и мерится.

[AndreyL]

Господин Александрович!

А как в Вашем случае (если веса назначаются как $1 \Big/ \sigma_i^2$) будет выглядеть закон распределения среднего? Как дать интервальную оценку среднего?

[Александрович]

Если, как в моём случае (при $\sigma_0=0$), и нам известно средневзвешенное ско, тогда интервал для средневзвешенного среднего находится через функцию Лапласа. Но у вас же не тот случай.
То, о чем я говорил, можно прочесть в Бронштейн, Семендяев "Справочник по математике" 1962 г., стр. 568.

[AndreyL]

У меня есть Бронштейн, Семендяев "Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов" 1986, но там страниц меньше.

[Александрович]

В 1986 этого нет.

[AndreyL]

Не могли бы Вы тогда выписать формулы, или отсканировать странички.

[AndreyL]

Можно не сканировать - понял, причем тут функция Лапласа (спутал с его-же распределением). Действительно, там все просто, поскольку дисперсию оценивать не надо - она известна, значит распределение средневзвешенного нормальное.

Моя же задача так пока и не решена.

[--mS--]

Почему же не решена? Ответ выше - никак. Эффективных оценок не существует. Поэтому если хотите получить какое-то решение, следует менять требования к нему.

[AndreyL]

--mS-- в сообщении #770357 писал(а):

Почему же не решена? Ответ выше - никак. Эффективных оценок не существует. Поэтому если хотите получить какое-то решение, следует менять требования к нему.

Не понял - не существует в смысле и существовать не может, или просто ее пока не нашли? Честно говоря я не увидел вразумительного доказательства невозможности эффективной оценки. Ткните пальцем, пожалуйста, где конкретно это было.

[_hum_]

AndreyL в сообщении #769954 писал(а):

Т.е. когда $\sigma_0^2=0$, так? Наверное, это можно интерпретировать как $\sigma_0^2 \ll \sigma_i^2$ и считать ее нулевой

Да.

AndreyL в сообщении #769954 писал(а):

В этом случае хотелось бы иметь априорный критерий - есть решение системы или нет решения. Хотя понятно, что ММП даст в лучшем случае смещенную оценку.

Зачем вам отсеивать случаи с нулевой дисперсией? Она же дает такой же содержательный результат, как и другие. И чем вас не устраивает смещенная оценка?

AndreyL в сообщении #770258 писал(а):

Как дать интервальную оценку среднего?

Я так понимаю, вы решили перейти от точечного к интервальному, поскольку первое дает не слишком удовлетворительные результаты? :) Так.. это... они обычно связаны - если нет "хороших" точечных, то не стоит ожидать малых доверительных интервалов с большой доверительной вероятностью. Единственно, есть надежда, что дающая хороший результат точечная просто не была найдена. В предположении последнего можно наверное тогда рассуждать так: поскольку мы выше выяснили, что минимальная достаточная статистика для оценки двумерного параметра $\mathbf{\theta} = (a, d_0)$ фактически совпадает с самой выборкой, то для поиска "хорошей" интервальной оценки придется работать с $n$-мерными статистиками, а значит, фактически искать такие параметризуемые множества $ B_{\mathbf{\theta}}^{\gamma} \in \mathbb{R}^n$, чтобы
1)$ \mathbf{P}_{\mathbf{\theta}}(X \in B_{\mathbf{\theta}}^{\gamma}) $ не зависило от $\mathbf{\theta}$,
2) получающаяся область параметров $ \Theta_\gamma$ была в приемлемом смысле ограничена, чтобы можно было ее считать доверительной областью (с надежностью $1 - \gamma$) для оцениваемых параметров.

В первую очередь просятся используемые в $n$-мерном интервальном оценивании эллиптические множества $B_{\mathbf{\theta}}^{\gamma} = \{\mathbf{x}: Q(\mathbf{x}) < k_{1-\gamma}^2 \}$, где $Q(\mathbf{x}) = (\mathbf{x} - a\mathbf{e}) D^{-1}(\mathbf{x} - a\mathbf{e})$, $\mathbf{e} = (1,1,\dots,1)$, $D = \mathrm{diag}(d_0 + d_1, d_0 + d_2,\dots,d_0 + d_n)$, $k_{1-\gamma}^2$ - квантиль $\chi^2(n)$ -распределения. В этом случае п. 1) будет выполнен, поскольку $Q(X)$ имеет $\chi^2(n)$ -распределение. Но надо разобраться с п. 2) -какие там области $ \Theta_\gamma $ получаются для параметров (но скорее всего, все же неограниченные...)

--mS-- в сообщении #770357 писал(а):

Почему же не решена? Ответ выше - никак. Эффективных оценок не существует. Поэтому если хотите получить какое-то решение, следует менять требования к нему.

Не совсем так. Не была доказана невозможность существования эффективной оценки для случая, о котором идет речь в данной теме. Хотя и похоже на то...

[AndreyL]

_hum_ в сообщении #770371 писал(а):

Зачем вам отсеивать случаи с нулевой дисперсией? Она же дает такой же содержательный результат, как и другие. И чем вас не устраивает смещенная оценка?

Безусловно! Но тогда их смело (главное, обосновано) можно считать по схеме с нулевой дисперсией

_hum_ в сообщении #770371 писал(а):

Я так понимаю, вы решили перейти от точечного к интервальному, поскольку первое дает не слишком удовлетворительные результаты? :) Так.. это... они обычно связаны - если нет "хороших" точечных, то не стоит ожидать малых доверительных интервалов с большой доверительной вероятностью.

Меня интересуют только интервальные оценки, причем основная задача, как раз, не оценка центра, а оценка дисперсии. В остальном полностью согласен.

_hum_ в сообщении #770371 писал(а):

Единственно, есть надежда, что дающая хороший результат точечная просто не была найдена. В предположении последнего можно наверное тогда рассуждать так: поскольку мы выше выяснили, что минимальная достаточная статистика для оценки двумерного параметра $\mathbf{\theta} = (a, d_0)$ фактически совпадает с самой выборкой, то для поиска "хорошей" интервальной оценки придется работать с $n$-мерными статистиками...

Это хорошо, но что нам это дает?

-- Чт окт 03, 2013 9:02 pm --

_hum_ в сообщении #770371 писал(а):

В первую очередь просятся используемые в $n$-мерном интервальном оценивании эллиптические множества $B_{\mathbf{\theta}}^{\gamma} = \{\mathbf{x}: Q(\mathbf{x}) < k_{1-\gamma}^2 \}$, где $Q(\mathbf{x}) = (\mathbf{x} - a\mathbf{e}) D^{-1}(\mathbf{x} - a\mathbf{e})$, $\mathbf{e} = (1,1,\dots,1)$, $D = \mathrm{diag}(d_0 + d_1, d_0 + d_2,\dots,d_0 + d_n)$, $k_{1-\gamma}^2$ - квантиль $\chi^2(n)$ -распределения. В этом случае п. 1) будет выполнен, поскольку $Q(X)$ имеет $\chi^2(n)$ -распределение. Но надо разобраться с п. 2) -какие там области $ \Theta_\gamma $ получаются для параметров (но скорее всего, все же неограниченные...)

Все равно не понимаю. Теперь мы имеем всего одну реализацию случайного вектора, при этом его ковариационная матрица известна с точностью до слагаемого $d_0 \mathbf{E}$, где $\mathbf{E}$ - единичная матрица, а вектор средних известен с точностью до множителя $a$.

[_hum_]

AndreyL в сообщении #770381 писал(а):

_hum_ в сообщении #770371 писал(а):

Зачем вам отсеивать случаи с нулевой дисперсией? Она же дает такой же содержательный результат, как и другие. И чем вас не устраивает смещенная оценка?

Безусловно! Но тогда их смело (главное, обосновано) можно считать по схеме с нулевой дисперсией

:))) Зачем? У вас же автоматически эта схема получается (оценка максимального правдоподрбия двумерного параметра $\theta = (a,d_0)$ при $d_0 = 0$ автоматически дает для $a$ "средневзвешенное" значение - проверьте).

Цитата:

Вот тут я не совсем понимаю, как в данном случае перейти от одномерной случайной величины к многомерной?

Я тоже не совсем понимаю, что вы не понимаете, но вот гляньте здесь 9.1.2.Доверительные интервалы для нескольких параметров. Вы вообще осознаете, что для двух параметров у вас вместо доверительного интервала будет некое двумерное множество? Я предлагаю попытаться его задать как

$$\Theta_\gamma(X) = \{(a,d_0) : Q(X) < k_{1-\gamma}^2\}.$$

Для него $\mathbf{P}_{\theta}(\theta \in \Theta_\gamma(X) ) = 1-\gamma$, то есть, его можно считать претендентом на доверительную область. Единственное НО, что эта область может оказаться неподходящей (плохо локализующей параметр $\theta$).

-- Чт окт 03, 2013 23:35:32 --

AndreyL в сообщении #770381 писал(а):

Меня интересуют только интервальные оценки, причем основная задача, как раз, не оценка центра, а оценка дисперсии. В остальном полностью согласен.

Кстати, если вас матожидание не интересует, то можно попробовать избавиться от него, перейдя к выборке
$Y_k = (X_{2k+1} - X_{2k})/2$.

[AndreyL]

_hum_ в сообщении #770403 писал(а):

:))) Зачем? У вас же автоматически эта схема получается (оценка максимального правдоподрбия двумерного параметра $\theta = (a,d_0)$ при $d_0 = 0$ автоматически дает для $a$ "средневзвешенное" значение - проверьте).

Совершенно верно, эта схема получается автоматически после того, как будет доказано, что $d_0 \ll d_i$. А как это доказать?

_hum_ в сообщении #770403 писал(а):

Я тоже не совсем понимаю, что вы не понимаете, но вот гляньте здесь 9.1.2.Доверительные интервалы для нескольких параметров. Вы вообще осознаете, что для двух параметров у вас вместо доверительного интервала будет некое двумерное множество?

Согласен, но компоненты имеют разное распределение, $a$ - близкое к нормальному (или Стьюденту), $d_0$- скорее похоже на хи-квадрат. То, что $Q(\mathbf{x}) = (\mathbf{x} - a\mathbf{e}) D^{-1}(\mathbf{x} - a\mathbf{e})$ должна иметь распределение хи-квадрат (при известных $a$ и $d_0$), мне понятно. При оценке $a$ и $d_0$ по выборке есть подозрение, что это будет уже распределение Фишера, правда со степенями свободы не понятно.

_hum_ в сообщении #770403 писал(а):

Я предлагаю попытаться его задать как

$$\Theta_\gamma(X) = \{(a,d_0) : Q(X) < k_{1-\gamma}^2\}.$$

Для него $\mathbf{P}_{\theta}(\theta \in \Theta_\gamma(X) ) = 1-\gamma$, то есть, его можно считать претендентом на доверительную область. Единственное НО, что эта область может оказаться неподходящей (плохо локализующей параметр $\theta$).

Если я правильно улавливаю Вашу мысль, то нужно не минимизировать $Q(X)$, а поискать границы, при которых $Q(X) = k_{1-\gamma}^2$ при ограничении $d_0>0$. Можно попробовать, особенно для случаев, когда ММП оценка дает $d_0<0$

[AndreyL]

Чего-то сразу не сообразил (смутился переходом в многомерное пространство) - ведь $Q(X)$ - это всего-лишь минус логарифм функции правдоподобия, т.е. даже интервальные оценки будут смещенными.