Сколько египетских треугольников?

[Ferma]

Shadow
Если перечисленные треугольники таковые, то из этого не следует, что они должны быть, именно, такими. Условие одно: праймориалы.

[Cash]

Ах вот оно что, спасибо Shadow...
То есть уравнение $4p\#+1 = y^2$ имеет решение для первых четырех простых чисел, а также для $p=17$.
Действительно любопытно...
Но кажется бесперспективно, попахивает Брокаром

[Ferma]

Cash
Объясните, пожалуйста, слово "Брокаром".

[venco]

Ferma в сообщении #770178 писал(а):

Пишу пять.
$4^2+3^2=5^2$
$12^2+5^2=13^2$
$60^2+11^2=61^2$
$420^2+29^2=421^2$
$1021020^2+1429^2=1021021^2$
Заметьте, что первое число каждой тройки чисел треугольника является удвоенным факториалом простых чисел. Например, $420=2\cdot7p!$

А почему вы пропустили
$12^2+35^2=37^2$
$60^2+91^2=109^2$
$60^2+221^2=229^2$
$60^2+899^2=901^2$
$420^2+341^2=541^2$
$420^2+851^2=949^2$
$420^2+1189^2=1261^2$
$420^2+1739^2=1789^2$
$420^2+4891^2=4909^2$
$420^2+11021^2=11029^2$
$420^2+44099^2=44101^2$

И вообще для любого нечётного катета >1, или чётного делящегося на 4, можно построить "египетский" треугольник, и чаще не один.
Кстати, египетским называют только треугольник 3,4,5.

[Ferma]

venco
Вам надо чуть повнимательнее и мне поточнее излагать условие: записали минимальный треугольник с конкретным праймориалом- переходи к другому праймориалу.

[venco]

Ferma в сообщении #770319 писал(а):

venco
Вам надо чуть повнимательнее и мне поточнее излагать условие: записали минимальный треугольник с конкретным праймориалом- переходи к другому праймориалу.

Вы не сказали в чём смысл этого списка. Такой треугольник есть для любого числа делящегося на 4. Зачем тут праймориалы?

[Ferma]

17! $(2\cdot714\cdot715)^2+(714+715)^2=(714^2+715^2)^2$. Для 19! неверно. Есть ли еще? Смысл в вопросе.

[Shadow]

Ferma в сообщении #770348 писал(а):

Есть ли еще? Смысл в вопросе.

Я бы переместил вопросительный знак в конце.
Еще нет. И не было, и не будет, пока не скажете какие там ограничения. И последняя формула непонятна. В общепринятых обозначениях - неверна, но у Вас совсем другие...

-- 03.10.2013, 20:49 --

А, понял 17! не играет. Значит все таки с разницой 1.

-- 03.10.2013, 21:12 --

Попробую объяснить. Ваша формула в общем виде выглядит так:
$(2uv)^2+(u^2-v^2)^2=(u^2+v^2)^2$
Если Вы хотите, чтобы $u^2-v^2=u+v$, необходимо $u-v=1$
Тогда разность между гипотенузой и катетом будет
$C-A=u^2+v^2-2uv=(u-v)^2=1$
Странно, что кроме Вас все поняли, что Вы имеете ввиду.

[venco]

Теперь понятно, что ТС хочет - чтобы гипотенуза была на 1 больше, чем катет.
Это возможно, если для этого катета $a$ число $2a+1$ является точным квадратом.
Или в случае с праймориалами $4p_k\#+1$ - квадрат.
Явление действительно редкое, если не конечное. Среди первых 200 праймориалов больше не встречается.

[Cash]

Ferma в сообщении #770310 писал(а):

Cash
Объясните, пожалуйста, слово "Брокаром".

Есть несколько нерешенных задач в теории чисел, по структуре напоминающих Вашу задачу.
Привожу из Вики:
Проблема Брокарда. Имеет ли уравнение $n!+1=m^2$ решения в натуральных числах, кроме (4, 5), (5, 11) и (7, 71)?
Гипотеза Томашевски. Только числа 1, 6 и 120 являются одновременно треугольными и факториалами. В альтернативной формулировке сводится к решению уравнения $8\cdot n!+1=m^2$ в натуральных числах.

[Ferma]

$b=2p\#=\frac{m^2-n^2}{2}$, $4p\#=m^2-n^2$, $4x(x+1)=m^2-n^2$

[Ferma]

Shadow
Формула не моя , а Ваша. Мои примеры. Я хочу получить ответ на вопрос темы.

[venco]

Ответа, скорее всего, нет.
Как указал Cash, аналогичная задача даже для факториала не решена, а с праймориалом, на мой взгляд, всё сложнее.

[Ferma]

venco
Подведем предварительные итоги.
1) Равенство праймориала произведению двух последовательных чисел является условием извлечения квадратного корня из выражения $4p\#+1$, которое получается из хромоногих треугольников решением уравнения $(2x)^2+(2y+1)^2=(2x+1)^2$.
2) К задаче пришел не случайно. Работая с праймориалами получаем симметрию "бабочки" $17\#=11\cdot(12)\cdot13\cdot14\cdot15\cdot(16)\cdot17$.
3) На одних числах далеко не уедешь. Числа Ферма (смотри карантин "Числа Ферма") прямо "указывают" на конечность последовательности треугольников.
4) Гипотеза Томашевски решается конечностью соответствия праймориала факториалу 3#-4!, 5#-5!. Другая заморочкой вида 17-71, чем я и занимаюсь.
5) Первый раз в жизни пользовался тегом math. Видно не напишу я свою статью к Дню учителя. Модератор к которому обращался недавно в теме за помощью(как изобразить систему координат с гиперболой в первой четверти, единичным квадратом, квадратами с штриховкой и внедрить в текст) молчит. Неужели только перемещать(смысл которого я не вижу) да наказывать входит в обязанности? Слабаки.

[vorvalm]

Ferma
Не рекомендую вступать в полемику с модератором в своей теме.
Для этого есть раздел "Работа форума".
Чтобы поместить изображение в текст, надо создать файл с этим изображением
и использовать "[Img ]"