Циклическая группа

[Юстас]

Пусть имеется конечная группа $G$, и пусть известно, что для любого числа $h$ количество элементов со свойством $g^h=e$ не превосходит $h$. Доказать, что группа $G$ циклическая.
Я понял только что каждая циклическая подгруппа $G$ нормальна. А что с этим делать не знаю.

[Руст]

Это стандартный вопрос и имеется в каждом учебнике по алгебраической теории чисел и используется в доказательстве цикличности мультипликативной группы полей Галуа.
В доказательстве используется подсчёт числа элементов группы и формула $\sum_{d|n}\phi (d) =n.$

[Юстас]

Руст писал(а):

В доказательстве используется подсчёт числа элементов группы и формула $\sum_{d|n}\phi (d) =n.$

Действительно хорошая формула. С ее помощью получается что-то вроде этого:
пусть существуют циклические подгруппы порядков $d_i,\ i=1\ldots k, \ d_i\nmid d_j$. Тогда существует g: $g^h=e$ только если h является делителем $HOK(d_1,\ldots, d_k)$, умноженным на что-то. Тогда количество элементов группы не превосходит

$$\sum_{d\mid d_1}\phi(d)+\sum_{d\mid d_2,\ d\nmid d_1}\phi(d)+\sum_{d\mid d_3,\ d\nmid d_1,\ d\nmid d_2}\phi(d)\ldots<\sum_{d\mid HOK(d_1,\ldots, d_k)}\phi(d)=HOK(d_1,\ldots, d_k).$$

Но элементов группы(в силу конечности) не меньше $HOK(d_1,\ldots, d_k)$. Так что циклическая подгруппа с указанным свойством только одна.

[lofar]

Пусть $d_1,\ldots,d_s$ --- все возможные порядки элементов из $G$, покажите, что

$$|G|=\sum_{i=1}^s\varphi(d_i)$$

. Выведите отсюда, что существует $d_i=|G|$.