2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Циклическая группа
Сообщение06.09.2007, 03:28 
Пусть имеется конечная группа $G$, и пусть известно, что для любого числа $h$ количество элементов со свойством $g^h=e$ не превосходит $h$. Доказать, что группа $G$ циклическая.
Я понял только что каждая циклическая подгруппа $G$ нормальна. А что с этим делать не знаю.

 
 
 
 
Сообщение06.09.2007, 06:35 
Это стандартный вопрос и имеется в каждом учебнике по алгебраической теории чисел и используется в доказательстве цикличности мультипликативной группы полей Галуа.
В доказательстве используется подсчёт числа элементов группы и формула $\sum_{d|n}\phi (d) =n.$

 
 
 
 
Сообщение06.09.2007, 08:54 
Руст писал(а):
В доказательстве используется подсчёт числа элементов группы и формула $\sum_{d|n}\phi (d) =n.$

Действительно хорошая формула. С ее помощью получается что-то вроде этого:
пусть существуют циклические подгруппы порядков $d_i,\ i=1\ldots k, \ d_i\nmid d_j$. Тогда существует g: $g^h=e$ только если h является делителем $HOK(d_1,\ldots, d_k)$, умноженным на что-то. Тогда количество элементов группы не превосходит $$\sum_{d\mid d_1}\phi(d)+\sum_{d\mid d_2,\ d\nmid d_1}\phi(d)+\sum_{d\mid d_3,\ d\nmid d_1,\ d\nmid d_2}\phi(d)\ldots<\sum_{d\mid HOK(d_1,\ldots, d_k)}\phi(d)=HOK(d_1,\ldots, d_k).$$
Но элементов группы(в силу конечности) не меньше $HOK(d_1,\ldots, d_k)$. Так что циклическая подгруппа с указанным свойством только одна.

 
 
 
 
Сообщение06.09.2007, 10:45 
Аватара пользователя
Пусть $d_1,\ldots,d_s$ --- все возможные порядки элементов из $G$, покажите, что $$|G|=\sum_{i=1}^s\varphi(d_i)$$. Выведите отсюда, что существует $d_i=|G|$.

 
 
 [ Сообщений: 4 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group