Помогите проверить неравенства для простых чисел

[vvv369]

Добрый день всем.
Получил несколько неравенств для простых чисел, проверил для нескольких, но для больших чисел не смогу. Помогите пожалуйста их проверить.
\pi(p_{n+1}^2-p_n^2) -n -1\ge \pi(p_{n+1}^2)-\pi(p_n^2) \ge\pi(p_{n+1}^2-p_n^2) -2n -2
2\pi(n)-3\pi(\sqrt{n}) +2\pi(\sqrt{2n}) +2\ge\pi(2n)\ge2\pi(n)-3\pi(\sqrt{n}) +\pi(\sqrt{2n}) - (\pi(\sqrt{2n})-\pi(\sqrt{n}))\cdot\frac{\pi(\sqrt{2n})-\pi(\sqrt n)+3}{2} +1
\pi(2n+1)- \pi(n) \ge \pi((n+1)^2)- \pi(n^2) \ge \pi(2n+1)- \pi(n) -\pi(n/2) +1
Спасибо

[Nilenbert]

vvv369 в сообщении #769399 писал(а):

\pi(2n+1)- \pi(n) \ge \pi((n+1)^2)- \pi(n^2) \ge \pi(2n+1)- \pi(n) -\pi(n/2) +1
Спасибо

Это неравенство точно неверно. При подставке $n=100$, получим:

$$ \pi(201)- \pi(100) \ge \pi(101^2)- \pi(100^2) \ge \pi(201)- \pi(100) -\pi(50) +1 $$

$$ 21\ge 23 \ge 7 $$

Что разумеется неверно.

[vvv369]

спасибо, буду искать ошибку

-- 01.10.2013, 06:28 --

Nilenbert в сообщении #769506 писал(а):

Это неравенство точно неверно. При подставке $n=100$, получим:

$$ \pi(201)- \pi(100) \ge \pi(101^2)- \pi(100^2) \ge \pi(201)- \pi(100) -\pi(50) +1 $$

$$ 21\ge 23 \ge 7 $$

Что разумеется неверно.

понял, это случай когда $n+1$- простое число, для этих случаев еще не до конца неравенство выведено, по крайней мере в правую часть двойку нужно добавить. Большое спасибо, а то я думал, что разницы нет, какое $n$

[vvv369]

А эти неравенства, если верны, нужны ли вообще? Или они давно известны?

[alex7851]

vvv369 в сообщении #769399 писал(а):

\pi(2n)\ge2\pi(n)-3\pi(\sqrt{n}) +\pi(\sqrt{2n}) - (\pi(\sqrt{2n})-\pi(\sqrt{n}))\cdot\frac{\pi(\sqrt{2n})-\pi(\sqrt n)+3}{2} +1

Как округлять корни? Если вниз, то неверно для $n=3$: alpha
И для почти всех за 500.

[vvv369]

alex7851 в сообщении #770885 писал(а):

vvv369 в сообщении #769399
писал(а):
\pi(2n)\ge2\pi(n)-3\pi(\sqrt{n}) +\pi(\sqrt{2n}) - (\pi(\sqrt{2n})-\pi(\sqrt{n}))\cdot\frac{\pi(\sqrt{2n})-\pi(\sqrt n)+3}{2} +1
Как округлять корни? Если вниз, то неверно для $n=3$: alpha

И для почти всех за 500.

Корни округляются вниз. Действительно, я ошибся при выводе неравенства, правильно будет так:
2\pi(n)-\pi(\sqrt n) \ge \pi(2n) \ge 2\pi(n)-3\pi(\sqrt{n}) +\pi(\sqrt{2n}) - (\pi(\sqrt{2n})-\pi(\sqrt{n}))\cdot\frac{\pi(\sqrt{2n})-\pi(\sqrt n)+3}{2}
или после сокращения
2\pi(n)-\pi(\sqrt n) \ge \pi(2n) \ge 2\pi(n)-2\pi(\sqrt n) - (\pi(\sqrt{2n})-\pi(\sqrt n))\cdot\frac{\pi(\sqrt{2n})-\pi(\sqrt n)+1}{2}
тогда для $n=3$:
2 \cdot 2 \ge 3 \ge 2\cdot 2 -2\cdot \frac{2+1}{2}
или 4\ge 3 \ge 1
Но правая часть (на самом деле в правой части я только сократил ), как Вы отметили, для больших чисел не выполняется, значит, ошибка в моих исходных предположениях. Наверное, не выполняется и в остальных неравенствах. Буду искать, почему. Спасибо.

[FAQ]

Корни округляются вниз. Действительно, я ошибся при выводе неравенства, правильно будет так:
$2\pi(n)-\pi(\sqrt n) \ge \pi(2n) \ge 2\pi(n)-3\pi(\sqrt{n}) +\pi(\sqrt{2n}) - (\pi(\sqrt{2n})-\pi(\sqrt{n}))\cdot\frac{\pi(\sqrt{2n})-\pi(\sqrt n)+3}{2}$
или после сокращения
$2\pi(n)-\pi(\sqrt n) \ge \pi(2n) \ge 2\pi(n)-2\pi(\sqrt n) - (\pi(\sqrt{2n})-\pi(\sqrt n))\cdot\frac{\pi(\sqrt{2n})-\pi(\sqrt n)+1}{2}$
тогда для $n=3$:
$2 \cdot 2 \ge 3 \ge 2\cdot 2 -2\cdot \frac{2+1}{2}$
или $4\ge 3 \ge 1$
Но правая часть (на самом деле в правой части я только сократил ), как Вы отметили, для больших чисел не выполняется, значит, ошибка в моих исходных предположениях. Наверное, не выполняется и в остальных неравенствах. Буду искать, почему. Спасибо.

[Deggial]

FAQ, предупреждение за дублирование предыдущего сообщения.