2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Помогите проверить неравенства для простых чисел
Сообщение30.09.2013, 18:02 


30/09/13
15
Добрый день всем.
Получил несколько неравенств для простых чисел, проверил для нескольких, но для больших чисел не смогу. Помогите пожалуйста их проверить.
\pi(p_{n+1}^2-p_n^2)  -n -1\ge \pi(p_{n+1}^2)-\pi(p_n^2)  \ge\pi(p_{n+1}^2-p_n^2)  -2n -2
2\pi(n)-3\pi(\sqrt{n}) +2\pi(\sqrt{2n}) +2\ge\pi(2n)\ge2\pi(n)-3\pi(\sqrt{n}) +\pi(\sqrt{2n}) -  (\pi(\sqrt{2n})-\pi(\sqrt{n}))\cdot\frac{\pi(\sqrt{2n})-\pi(\sqrt n)+3}{2} +1
\pi(2n+1)- \pi(n) \ge \pi((n+1)^2)- \pi(n^2) \ge \pi(2n+1)- \pi(n) -\pi(n/2) +1
Спасибо

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите проверить неравенства для простых чисел
Сообщение30.09.2013, 22:29 
Аватара пользователя


25/03/08
241
vvv369 в сообщении #769399 писал(а):
\pi(2n+1)- \pi(n) \ge \pi((n+1)^2)- \pi(n^2) \ge \pi(2n+1)- \pi(n) -\pi(n/2) +1
Спасибо


Это неравенство точно неверно. При подставке $n=100$, получим:
$$
\pi(201)- \pi(100) \ge \pi(101^2)- \pi(100^2) \ge \pi(201)- \pi(100) -\pi(50) +1
$$

$$
21\ge 23 \ge 7
$$

Что разумеется неверно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите проверить неравенства для простых чисел
Сообщение30.09.2013, 23:12 


30/09/13
15
спасибо, буду искать ошибку

-- 01.10.2013, 06:28 --

Nilenbert в сообщении #769506 писал(а):
Это неравенство точно неверно. При подставке $n=100$, получим:
$$ \pi(201)- \pi(100) \ge \pi(101^2)- \pi(100^2) \ge \pi(201)- \pi(100) -\pi(50) +1
$$ $$ 21\ge 23 \ge 7 $$
Что разумеется неверно.

понял, это случай когда $n+1$- простое число, для этих случаев еще не до конца неравенство выведено, по крайней мере в правую часть двойку нужно добавить. Большое спасибо, а то я думал, что разницы нет, какое $n$

 Профиль  
                  
 
 Вопрос дилетанта профессионалам
Сообщение02.10.2013, 15:19 


30/09/13
15
А эти неравенства, если верны, нужны ли вообще? Или они давно известны?

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите проверить неравенства для простых чисел
Сообщение05.10.2013, 11:44 
Аватара пользователя


02/04/11
37
vvv369 в сообщении #769399 писал(а):
\pi(2n)\ge2\pi(n)-3\pi(\sqrt{n}) +\pi(\sqrt{2n}) -  (\pi(\sqrt{2n})-\pi(\sqrt{n}))\cdot\frac{\pi(\sqrt{2n})-\pi(\sqrt n)+3}{2} +1

Как округлять корни? Если вниз, то неверно для $n=3$: alpha
И для почти всех за 500.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите проверить неравенства для простых чисел
Сообщение08.10.2013, 00:44 


30/09/13
15
alex7851 в сообщении #770885 писал(а):
vvv369 в сообщении #769399
писал(а):
\pi(2n)\ge2\pi(n)-3\pi(\sqrt{n}) +\pi(\sqrt{2n}) -  (\pi(\sqrt{2n})-\pi(\sqrt{n}))\cdot\frac{\pi(\sqrt{2n})-\pi(\sqrt n)+3}{2} +1
Как округлять корни? Если вниз, то неверно для $n=3$: alpha

И для почти всех за 500.


Корни округляются вниз. Действительно, я ошибся при выводе неравенства, правильно будет так:
2\pi(n)-\pi(\sqrt n) \ge \pi(2n) \ge 2\pi(n)-3\pi(\sqrt{n}) +\pi(\sqrt{2n}) -  (\pi(\sqrt{2n})-\pi(\sqrt{n}))\cdot\frac{\pi(\sqrt{2n})-\pi(\sqrt n)+3}{2}
или после сокращения
2\pi(n)-\pi(\sqrt n) \ge \pi(2n) \ge 2\pi(n)-2\pi(\sqrt n)  -  (\pi(\sqrt{2n})-\pi(\sqrt n))\cdot\frac{\pi(\sqrt{2n})-\pi(\sqrt n)+1}{2}
тогда для $n=3$:
2 \cdot 2 \ge 3 \ge 2\cdot 2 -2\cdot \frac{2+1}{2}
или 4\ge 3 \ge 1
Но правая часть (на самом деле в правой части я только сократил ), как Вы отметили, для больших чисел не выполняется, значит, ошибка в моих исходных предположениях. Наверное, не выполняется и в остальных неравенствах. Буду искать, почему. Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите проверить неравенства для простых чисел
Сообщение18.12.2013, 11:18 


18/12/13
1
Корни округляются вниз. Действительно, я ошибся при выводе неравенства, правильно будет так:
$2\pi(n)-\pi(\sqrt n) \ge \pi(2n) \ge 2\pi(n)-3\pi(\sqrt{n}) +\pi(\sqrt{2n}) -  (\pi(\sqrt{2n})-\pi(\sqrt{n}))\cdot\frac{\pi(\sqrt{2n})-\pi(\sqrt n)+3}{2}$
или после сокращения
$2\pi(n)-\pi(\sqrt n) \ge \pi(2n) \ge 2\pi(n)-2\pi(\sqrt n)  -  (\pi(\sqrt{2n})-\pi(\sqrt n))\cdot\frac{\pi(\sqrt{2n})-\pi(\sqrt n)+1}{2}$
тогда для $n=3$:
$2 \cdot 2 \ge 3 \ge 2\cdot 2 -2\cdot \frac{2+1}{2}$
или $4\ge 3 \ge 1$
Но правая часть (на самом деле в правой части я только сократил ), как Вы отметили, для больших чисел не выполняется, значит, ошибка в моих исходных предположениях. Наверное, не выполняется и в остальных неравенствах. Буду искать, почему. Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите проверить неравенства для простых чисел
Сообщение21.12.2013, 12:15 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5728
 !  FAQ, предупреждение за дублирование предыдущего сообщения.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Geen


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group