Восстановление кривой по неточным данным

[centrino]

Итак, собиратся идеи и подходы для решения следующей математической задачки.

Имеется некоторая кривая в двумерном пространтсве y=f(x). Функция f не допускает представления в аналитическом виде и неизвестна. Известно только, что угол между касательной к этой функции и осью x в любой точке небольшой. Например, если изучается кривая в диапазоне по x от 0 до 25000 то максимальное отклонение от оси x составит порядка 40, без резких скачков.

Задачей является восстановление этой кривой с определённой степенью точности на основании экспериментальных данных. При эксперименте данные получаются следующим образом. Вводится подвижная прямоугольная система координат x'O'y'. которая перемещается вдоль оси x. Через каждый интервал dx известны расстояния от оси x' до кривой в системе координат x'O'y' в трёх точках x1' = 0 x2' = b и x3' = 2*b. Сложностью является тот факт, что система координат x'O'y' не только перемещается, но и постоянно поворачивается относительно системы координат xOy на небольшие углы, которые неизвестны!

Буду благодарен за любые идеи и с удовольствием отвечу на вопросы, если что непонятно!

[незваный гость]

centrino писал(а):

Через каждый интервал dx известны расстояния от оси x' до кривой в системе координат x'O'y' в трёх точках

От оси $X'$ до кривой или от кривой до оси $X'$? Это не одно и тоже...

Далее: предполагая рсстояние от кривой до оси, (а) верно ли, что $O'$ всегда на оси $X$ (то есть, имеет координаты $(k \, dx, 0)$? (б) верно ли что в результате измерений мы имеем набор из трёх $(x', y')$?

[centrino]

Спасибо за участие!!!

а). нет, это предположение не верно. O' может перемещаться произвольным образом.
б). да, каждое измерение состоит из трёх ординат y', точнее (0, y1'), (a, y2'), (a+b, y3'), так как в системе кооржинат x'O'y' абсциссы точек не изменяются.

Цитата:

От оси $X'$ до кривой или от кривой до оси $X'$? Это не одно и тоже...

Можно считать что это одно и тоже в силу малости наклона касательной к кривой.

Проиллюстрирую данную ситуацию несколько инным, и кстати в силу малости углов поворота, эквивалентным способом. Имеем кривую K, и имеем отрезок AB, который обоими концами находится всегда на кривой, то есть образует хорду. Отрезок может перемещаться вдоль кривой, но таким образом, что всегда оба его конца принадлежат кривой. Объектом измерения в данной ситуации является расстояние от некотрой точки P, принадлежащей отрезку, до кривой K. В данном случае совместим ось X' с отрезком AB, точкe O' с A. Пусть |AP|=a и |PB|=b ( в предыдущем случае было a=b).

Несмотря на кажущиеся отличия, это представление эквивалентно предыдущему случаю, если заметить, что на основании измерений с трёх точек с абсциссами 0, a, (a+b) на произвольной оси X'' всегда можно расчитать расстояние от точки P до кривой с точностью до б.м. при условии малости угла между X'' и X и условии на кривую (f(x+a+b)-f(x)) << (a+b).

Если без картинки не очень понятно сейчас попробую это изобразить..

Вот картинка

Принимаем, что MP' = MP, измеряемая величина - MP. Также эта величина может быть получена пересчётом как MP = y2' - y1'*a/(a+b) - y3'*b/(a+b), если осуществляются измерения относительно произвольной системы координат x'O'y', не привязанной к кривой и углол между x' и x небольшой.

[Zai]

Ваша задача относится к прикладным вопросам распознавания образов, когда по известным углу наклона и кривизне кривой необходимо достраивать ее продолжение. В случае монотонного возрастания ( убывания) функции можно доказать что это возможно. Необходимо больше данных, может быть Вы можите группировать данные не по три, а по четыре точки.