Разложения синуса в произведение [Алгебра]

[Whitaker]

Здравствуйте!

Доказать, что $\dfrac{\sin (mx)}{\sin x}$ является при нечетном $m\in \mathbb{N}$ многочленом от $\sin^2x$, найдите степень, корни и старший коэффициент этого многочлена и доказать, что

$$\dfrac{\sin (mx)}{\sin x}=(-4)^{\frac{m-1}{2}}\prod \limits_{j=1}^{\frac{m-1}{2}}\left(\sin^2x-\sin^2 \left(\frac{2\pi j}{m}\right) \right)$$

Помогите пожалуйста. Что-то нет никаких идей на данный момент.

[iifat]

Доказать, что многочлен, думаю, получится по индукции. Оттуда же — определится степень.
Корни — ну, корни

Whitaker в сообщении #769855 писал(а):

$\dfrac{\sin (mx)}{\sin x}$

определить легко, найти в этих точках

Whitaker в сообщении #769855 писал(а):

$\sin^2x$

— вот и корни многочлена. А уж если они есть все, разложить многочлен в произведение и вовсе несложно.

[Whitaker]

Можно ли это доказать как-то без индукции?

[whitefox]

Формула Муавра

[iifat]

Whitaker в сообщении #769888 писал(а):

Можно ли это доказать как-то без индукции?

Можно, наверное. Как и передвигаться, не используя правую ногу. Если, конечно, есть на то серьёзные мотивы

[Sonic86]

Можно рассматривать нули и полюса обеих частей с учетом кратности. Если мультимножества нулей и полюсов совпадают, то несложно доказать, что отношение данных функций - константа (в общем случае - посложнее), потом константу подбираем вычислением выражения в удобной точке.

Были аналогичные задачки. Вот одна: topic17042.html и недавно еще одна была.