2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Разложения синуса в произведение [Алгебра]
Сообщение02.10.2013, 01:50 
Аватара пользователя
Здравствуйте!

Доказать, что $\dfrac{\sin (mx)}{\sin x}$ является при нечетном $m\in \mathbb{N}$ многочленом от $\sin^2x$, найдите степень, корни и старший коэффициент этого многочлена и доказать, что $$\dfrac{\sin (mx)}{\sin x}=(-4)^{\frac{m-1}{2}}\prod \limits_{j=1}^{\frac{m-1}{2}}\left(\sin^2x-\sin^2 \left(\frac{2\pi j}{m}\right) \right)$$

Помогите пожалуйста. Что-то нет никаких идей на данный момент.

 
 
 
 Re: Разложения синуса в произведение [Алгебра]
Сообщение02.10.2013, 03:59 
Доказать, что многочлен, думаю, получится по индукции. Оттуда же — определится степень.
Корни — ну, корни
Whitaker в сообщении #769855 писал(а):
$\dfrac{\sin (mx)}{\sin x}$
определить легко, найти в этих точках
Whitaker в сообщении #769855 писал(а):
$\sin^2x$
— вот и корни многочлена. А уж если они есть все, разложить многочлен в произведение и вовсе несложно.

 
 
 
 Re: Разложения синуса в произведение [Алгебра]
Сообщение02.10.2013, 09:02 
Аватара пользователя
Можно ли это доказать как-то без индукции?

 
 
 
 Re: Разложения синуса в произведение [Алгебра]
Сообщение02.10.2013, 11:09 
Аватара пользователя
Формула Муавра

 
 
 
 Re: Разложения синуса в произведение [Алгебра]
Сообщение02.10.2013, 12:35 
Whitaker в сообщении #769888 писал(а):
Можно ли это доказать как-то без индукции?
Можно, наверное. Как и передвигаться, не используя правую ногу. Если, конечно, есть на то серьёзные мотивы :lol:

 
 
 
 Re: Разложения синуса в произведение [Алгебра]
Сообщение02.10.2013, 17:00 
Можно рассматривать нули и полюса обеих частей с учетом кратности. Если мультимножества нулей и полюсов совпадают, то несложно доказать, что отношение данных функций - константа (в общем случае - посложнее), потом константу подбираем вычислением выражения в удобной точке.

Были аналогичные задачки. Вот одна: topic17042.html и недавно еще одна была.

 
 
 [ Сообщений: 6 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group