Одноэлектронное поле Дирака: классическое или квантовое?

VladimirKalitvianski · 21/08/11 1133 Grenoble

В целом не вполне понятно, а что мешает рассмотреть нерелятивистское уравнение Шредингера с "потенциалом" такого же типа. Тогда станет очевидно, почему даже при "отталкивающем потенциале" стационарное и локализованное возле $r=0$ решение существует - это получается за счет "отражающих" граничных условий. С уравнением Дирака то же самое.

Расчеты, похоже, показывают, что область локализации не имеет ничего общего со свойствами реального электрона. Кроме того, нельзя составить суперпозицию из стационарных решений - уравнение Шредингера (или Дирака) нелинейное и сумма решений не будет решением. В общем, совсем пустое это дело.

VladimirKalitvianski · 21/08/11 1133 Grenoble

В своем блоге я разместил заметку под названием "О "Естественная единая теория электромагнитного и фермионного полей"", которую буду еще редактировать.

Название "Естественная единая теория электромагнитного и фермионного полей" заимствовано из моногафии Н. В. Мицкевича "Физические поля в общей теории относительности" 1969 года (см. стр. 148-151), но никакой гравитации мы, естественно, рассматривать не будем - нет ее в главе 4.9, посвященной "Единой теории", и тем и лучше.

Речь идет о системе уравнений Дирака и Максвелла, то есть, о релятивистском электроне до вторичного квантования, "действующем сам на себя". Я всегда думал, что там без перенормировок не обойтись, но, как оказалось, я ошибался, - обходятся и даже получают нетривиальные решения "локализованного типа", иногда называемые солитоном или уединенний волной. А кое-кто нашел даже монопольное решение, возможно, подражая монополю Полякова-Хофта. Для меня это было совершеннейшим сюрпризом и я решил разобраться, как такое может быть, чтобы без перенормировок, и что они там такого надыбали. Данная заметка это не обзор эксперта, а мои впечатления от поверхностного знакомства с несколькими стаьями. Тем не менее, это интересно, так как все там упирается в "самодействие", засилье которого в современной теории фундаментально.

Сюрприз получился потому, что, не смотря на замечательные решения совместной системы Дирака-Максвелла, люди о них, как-то почти не пишут, стесняются что ли, вот я и не знал, что они давно уже есть. А они были, есть и еще будут. Правда, там не без ошибок, я думаю, и поэтому я и решил обрисовать здесь их результаты и мои соображения против.

Ну и вот, система Дирака-Максвелла, встречающаяся также под названием "система Максвелла-Дирака" (важное различие при поиске в арХиве), состоит из уравнения Дирака для волновой функции $\psi$ и электромагнитного поля $A$ , создаваемого электроном, описываемом этой волновой функцией. Что может быть проще? Проще может быть уравнение Шредингера с уравнением Лапласа, а еще проще может быть уравнение Ньютона с уравнением Лапласа, но оказывается, Ньютон с Лапласом совсем плохи. Поясню: любители самодействия видят его так:

Система Дирака-Максвелла

$\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l l}i\hat{\partial}\psi+e\hat{A}\psi-m\psi=0, \\ \partial^2 A_{\mu}=-e\bar{\psi}\gamma_{\mu}\psi. \end{array}\right}\quad (1)$

С таким же успехом можно написать систему Шредингера-Лапласа:

$\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l l}i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi+V(\vec{x})\psi, \\ \nabla^2 V=-e^2{\psi}^*\psi. \end{array}\right}\quad (2)$

Видите - волновая функция здесь трактуется, как классическая плотность "постороннего" заряда, что, конечно, ошибочно. Возьмите волновую функцию атома водорода в абсолютных координатах $\Psi(\vec{x}_e,\vec{x}_N)$ . В уравнении Шредингера стоит потенциальная энергия взаимодействия в виде $U=-e^2/|\vec{x}_e-\vec{x}_N|$ и нету никакого интеграла от плотности вероятности нахождения ядра или электрона. Так что уравнения для потенциалов в (1) и (2) записаны не правильно, не пишут так в квантовой механике.

Правильное уравнение Ньютона-Лапласа (т.е., с самодействием) вырождается, естественно, в фигню - в систему с бесконечной силой:

$\displaystyle{ \left\{\begin{array}{1 l}m\ddot{\vec{x}}=\vec{F}\left(\vec{x}(t)\right), \vec{F}(\vec{x})=-\nabla V(\vec{x}), \\ \nabla^2 V(\vec{x})=-e^2\delta\left(\vec{x}-\vec{x}(t)\right), \end{array}\right}\quad (3)$

или, если записать классические уравнения Гамильтона-Якоби для $S(\vec{x})$ , то туда войдет $V(0)$ , - вот чем отличается нелинейный подход (1), (2) от правильного классического. То есть, уравнения (1), (2), конечно, нелинейные, но это, конечно, не самодействие, так как правильное самодействие дало бы $V(r)\propto 1/r,\; r\to 0$ . Иначе говоря, уравнения для поля записаны не правильно и авторы не видят очевидной лажи.

Я, написав производные по времени в (1) и (2) для волновых функций, но не для потенциалов, конечно, немного утрирую здесь, подражая авторам, так как имею ввиду в первую очередь стационарные решения, исследуемые авторами "естественной единой" теории, так что производная по времени не дает никакой динамики и написана здесь лишь "для порядка". Просто так лучше видно, что можно попробовать искать стационарные решения, пропорциональные $e^{-iEt/\hbar}$ . Так и поступают, хотя сразу надо сказать, что из-за нелинейности волнового уравнения принцип суперпозиции для волновой функции не выполняется. Но авторы все равно стараются найти стационарные решения и придать им смысл стабильного конечно-размерного классического электрона. Они полагают, что нелинейность приведет к солитонообразному решению для волновой функции, которое создает Кулоновское поле на больших расстояниях, но не сингулярно в нуле. А саму волновую функцию они, к сожалению, понимают, как корень квадратный из плотности заряда, а не как амплитуду вероятности. То есть, нелинейная система должна дать, по их представлениям, классический электрон конечного размера. Их не смущает использование волнового уравнения квантовой механики для этих целей.

Еще одна странность - люди ищут сферически симметричные решения. Не плоские волны, как в квантовой механике, а сферические "гармоники", полагая, что так правильнее искать локализованные в пространстве решения. В этом еще раз проявляется их особое стремление "получить" таким образом классическую заряженную частицу. Надо отметить, что такой полевой подход к пониманию частиц был присущ и Эйнштейну (1919), который с помощью ОТО тоже (безуспешно) пытался "стабилизировать" раздираемый силами отталкивания электрон (см. историю здесь).

Крис Радфорд (Chris Radford) нашел что-то вроде электрически нейтрального магнитного монополя, что, конечно, не похоже на электричeский заряд на больших расстояниях.

Еще одна группа исследователей (Bohun, Cooperstock) нашла "солитон" при помощи численного решения системы уравнений. Независимо от них, Гаррет Лизи тоже нашел солитонообразное решение ("одиночная волна"), решая систему Дирака-Максвелла численно.

Наконец, Барут с сотоварищи делал аналитичeские вычисления по теории возмущений и вынужден был проводить перенормировки в отличии от предыдущих автотов. Упражнения Барута давали почти то же самое, что и квантовая электродинамика - Лэмбовский сдвиг, аномальный магнитный момент, и т.д., и никакого солитона. Поэтому надо понять, как же так, решения одной и той же задачи разнятся столь сильно в зависимости от автора.

На мой взгляд, солитонные (локализованные) решения в постановке (1) или (2) получаются из-за "отражающих" граничных условий - волновая функция равна нулю на границе $r=R$ (задача решается в сферических координатах на конечном интервале), что в значительной степени предопределяет решение. Я еще к этому вернусь, когда проделаю численные расчеты сам, а сейчас мне кажется, что и без самодействия получится примерно то же самое, ведь решения в трехмерной сферической яме известны. Включение нелинейности несколько искажает "невозмущенную" сферическую гармонику. Не ясно, кстати, как там это "самодействие" учитывается, правильно ли, ибо тут есть тонкость - при любом отталкивающем, но заданном (известном) потенциале в сферической яме решения, конечно есть и квантуется, но при не заданном, а искомом - не известно.

Рассмотрим для простоты систему (2) с определенной "энергией" $E$ в сферических координатах, имея ввиду состояния с $l=0$ :

$\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l l}E\psi=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}r^2\frac{d}{dr}\psi+V(\vec{x})\psi, \\ \nabla^2 V=-e^2{\psi}^*\psi. \end{array}\right}\quad (4)$

Если выключить "самодействие", то радиальное уравнение из (4) будет иметь точные решения:

$\psi_E=\frac{\chi_E (r)}{r}\quad (5)$ ,

а для $\chi_E (r)$ получается совсем простое уравнение:

$\chi''+\frac{2m}{\hbar^2}E\chi=0\quad (6)$

Ну и вот, если даже выбрать в качестве решения синус, то получим некое локализованное состояние на интервале $0\le r\le R$ :

$\psi_E=A\frac{\sin\left(r\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}\right)}{r}, \;E_n=\frac{\pi^2 n^2}{R^2} \frac{\hbar^2}{2m}.\quad (7)$

A если выбрать косинус, то в нуле получим хороший пик, при этом решение все еще будет нормируемым:

$\psi_E=B\frac{\cos \left(r\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}\right)}{r}, \;E_n=\frac{\pi^2 (2n+1)^2}{4R^2} \frac{\hbar^2}{2m}.\quad (8)$

Можно ли о последнем решении (т.е., с косинусом) сказать, что это модель локализованного электрона конечного размера? Очевидно, что размер локализации определяется размером потенциальной ямы $R$ , а сама локализация есть не что иное, как интерференция волны в замкнутом пространстве.

Что будет, если добавить нелинейный член "самодействия" $V(r)$ ? Конечно, волна как-то исказится, даже новый размерный параметр появится, но мне все еще не ясно до какой степени важным/неважным для локализации будет "отражающее" граничное условие в $r=R:\;\psi(R)=0$ .

Оценим вклад нелинейного члена в энергию, считая его известной функцией, выраженной через нулевое приближение $\psi^{(0)}\propto\frac{\sin\left(r\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}\right)}{r}$ .

"Потенциал" $V(r)$ можно выразить через функцию Грина - интегральным образом:

$V(r)=e^2\int{\frac{|\psi (r')|^2}{|\vec{r}-\vec{r}'|}d^3r',\quad (9)$

а можно и через волновую функцию прямо из уравнения Шредингера, если самосогласованное решение известно. Например, нулевой потенциал внутри ямы так и получается:

$V(r)=E+\frac{1}{\psi ^{(0)}(r)}\frac{\hbar^2}{2m}\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}r^2\frac{d}{dr}\psi^{(0)}(r)=E+\frac{1}{\psi ^{(0)}(r)}\frac{\hbar^2}{2m}\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}r^2\left[-\frac{\sin\left(r\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}\right)}{r^2}+\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}\frac{\cos\left(r\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}\right)}{r}\right]$

$=E+\frac{1}{\psi ^{(0)}(r)}\frac{\hbar^2}{2m}\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left[-\sin\left(r\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}\right)}+\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}r\cos\left(r\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}\right)\right]$

$=E+\frac{1}{\psi ^{(0)}(r)}\frac{\hbar^2}{2m}\frac{1}{r^2}\left[-\frac{2mE}{\hbar^2}r\sin\left(r\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}\right)\right]=0$

Вернемся, однако, к решению уравнения Лапласа. Диагональный матричный элемент нелинейного "возмущения" есть:

$V_{nn}=\int V(r)|\psi_n ^{(0)}|^2d^3r= e^2\intd^3r\intd^3r'{\frac{|\psi_n ^{(0)} (r)|^2 |\psi_n ^{(0)} (r')|^2 }{|\vec{r}-\vec{r}'|}.\quad (10)$

Из размерных соображений эта поправка пропорциональна $e^2/R$ :

$V_{nn}=k(n)\frac{e^2}{R},\quad (11)$

а энергия основного состояния с синусом есть:

$E_0= \frac{\pi^2}{R^2}\frac{\hbar^2}{2m}.\quad (12)$

Для малых $R$ (отражающие стенки близки) поправка за счет нелинейности мала и локализация определяется размерами сферической ямы. Для больших $R$ поправка из-за нелинейности велика и нужно учитывать и суммировать высшие поправки. Существенный вопрос - хватит ли нелинейного эффекта для формирования локализованного состояния при отодвигании стенки на бесконечность? То есть, даст ли нелинейность эффективное граничное условие $\psi\to 0$ , когда $R\to\infty$ ? Если нет, то локализация по-прежнему обязана своим существованием отражающим стенкам.

Потенциал (9) является "отталкивающим" и убывающим, как Кулон, если, конечно, волновая функция локализована вблизи нуля. Это косвенно указывает на важность отражающих стенок, но такое рассуждение основано на свойствах линейного уравнения Шредингера. Гаррет Лизи решал не интегро-дифференциальные уравнения, а только дифференциальные уравнения, дискретизированные на некотором конечном интервале $(0,R)$ . Как я уже писал, если потенциал задан, то и волновая функция существует в смысле волновой функции уравнения Шредингера с принципом суперпозиции. Но если система нелинейна и "потенциал" не известен, то не ясно, существует ли стабильное решение, но ясно, что принцип суперпозиции не применим (хорошо бы исследовать стационарные решения на устойчивость), и не понятно, к какому результату сходятся численные итерации - к решению нелинейного уравнения или к решению уравнения Шредингера во внешнем известном потенциале. Допустим, что Лизи нашел решения нелинейных уравнений Дирака-Максвелла. Они, конечно, дали нереалистическую локализацию решений.

В целом, ясно, что данная нелинейность не физична и ошибочна, что проще всего увидеть на простейшем примере уравнения Шредингера для атома водорода, то есть, уравнения (2), но с дополнительным внешним потенциалом $U(r)=-e^2 /r$ . Тогда нелинейная поправка типа (10) к энергии $E_n$ будет порядка $e^2/a_n$ , то есть, сравнима с самой энергией. Нет такого самодействия в квантовой механике, не говоря уже о нарушенном принципе суперпозиции. Лэмбовский сдвиг, конечно, значительно меньше этих ошибочных поправок. Расчеты Барута в этом отношении наиболее "адекватны" - он "правильно" учитывает самодействие (само самодействие "правильное" (стандартное) и перенормировки исправляют (вычитают) основную неправильность типа $V(0)$ ).

VladTK · 16/03/07 827

(Оффтоп)

To VladimirKalitvianski:
У Вас интересный блог. Меня особо заинтересовала эта страничка http://fishers-in-the-snow.blogspot.ru/2011/10/blog-post_27.html?utm_source=BP_recent Хотя Ваш прогноз по Хиггсу не оправдался, я думаю основная мысль высказанная Вами все таки верна. Принцип локальной калибровочной инвариантности не может быть верным всегда - рано или поздно наступит предел его справедливости. Я попытался обобщить этот принцип для развития новых теорий поля, но мои идеи были восприняты в штыки и в печати мне было везде отказано. Если интересно ознакомтесь с моей идеей http://dxdy.ru/topic35245.html

VladimirKalitvianski · 21/08/11 1133 Grenoble

Тут мне подсказали, что нет там никакой волновой функции, а есть использование (статического) уравнения Дирака, как уравнения классического "фермионного поля" в качестве механизма стабилизации плотности заряда электрона. В этом отношении данная затея похожа на нелинейную теорию Борна-Инфельда. Ну и ладно.

VladimirKalitvianski · 21/08/11 1133 Grenoble

Нелинейное, но чисто дифференциальное стационарное (радиальное) уравнение "Шредингера" для "самодействующего" электрона (4), получается таким:

$\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}r^2\frac{d}{dr}\left[\frac{1}{\psi }\frac{\hbar^2}{2m}\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}r^2\frac{d}{dr}\psi\right]=-e^2\psi^2$

У него будет четыре константы интегрирования. На бесконечности можно, наверное, потребовать зануления как самой функции, так и ее производной. Кроме того, квадрат функции должен давать конечный интеграл по всему пространству (конечный заряд). Желательно также иметь некий локальный пик вблизи нуля - ну как мы все представляем себе классически размазанный электрон. Как вы думаете, реалистично ли построить и исследовать численные решения такого уравнения? Собственно, меня интересует вопрос о "достаточности" нелинейности для формирования локального пика, то есть, независимость локализации от $R$ при $R\to\infty$ .

myhand · 03/03/10 ∞ 4558

(Оффтоп)

VladTK в сообщении #704645 писал(а):

Я попытался обобщить этот принцип для развития новых теорий поля, но мои идеи были восприняты в штыки и в печати мне было везде отказано.

Не удивительно, если вы свой опус в УФН понесли... Этот журнал вообще не предназначен для публикации оригинальных исследований (вне зависимости от их "качества").

Helium · 03/05/12 ∞ 449

VladimirKalitvianski в сообщении #705442 писал(а):

Нелинейное, но чисто дифференциальное стационарное (радиальное) уравнение "Шредингера" для "самодействующего" электрона (4), получается таким:

$\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}r^2\frac{d}{dr}\left[\frac{1}{\psi }\frac{\hbar^2}{2m}\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}r^2\frac{d}{dr}\psi\right]=-e^2\psi^2$

У него будет четыре константы интегрирования. На бесконечности можно, наверное, потребовать зануления как самой функции, так и ее производной. Кроме того, квадрат функции должен давать конечный интеграл по всему пространству (конечный заряд). Желательно также иметь некий локальный пик вблизи нуля - ну как мы все представляем себе классически размазанный электрон. Как вы думаете, реалистично ли построить и исследовать численные решения такого уравнения? Собственно, меня интересует вопрос о "достаточности" нелинейности для формирования локального пика, то есть, независимость локализации от $R$ при $R\to\infty$ .

Я имею опыт решения системы уравнений Шредингера и Пуассона и могу анализировать подобные уравнения. Данная тема мне тоже интересна. К примеру сделал расчет для атома водорода с учетом совместного результирующего потенциала протона и электрона. При выключении потенциала электрона аналитическое и численное решения совпадают.

npduel · 18/06/13 ∞ 505 Подмосковье

VladimirKalitvianski в сообщении #704632 писал(а):

Ну и вот, система Дирака-Максвелла, встречающаяся также под названием "система Максвелла-Дирака" (важное различие при поиске в арХиве), состоит из уравнения Дирака для волновой функции $\psi$ и электромагнитного поля $A$ , создаваемого электроном, описываемом этой волновой функцией. Что может быть проще?

В уравнение Дирака для электрона потенциал собственного поля этого электрона вставлять ни в коем случае нельзя.

abelor · 24/01/13 154

VladTK в сообщении #704645 писал(а):

VladimirKalitvianski, у Вас интересный блог. Меня особо заинтересовала эта страничка http://fishers-in-the-snow.blogspot.ru/ ... =BP_recent
Хотя Ваш прогноз по Хиггсу не оправдался, я думаю основная мысль высказанная Вами все таки верна. Принцип локальной калибровочной инвариантности не может быть верным всегда - рано или поздно наступит предел его справедливости. Я попытался обобщить этот принцип для развития новых теорий поля, но мои идеи были восприняты в штыки и в печати мне было везде отказано. Если интересно ознакомтесь с моей идеей topic35245.html

Похоже, эйфория по поводу открытия бозона Хиггса постепенно проходит, и точку в этом вопросе ставить рано. Дело в том, что открытая на БАКе частица вполне может быть короткоживущим резонансом. Вот первая ласточка, подтверждающая эту гипотезу. Это статья известного канадского физика-теоретика Джона Моффата, вышедшая в конце прошлого года:

http://arxiv.org/pdf/1211.2746v3.pdf

«Identification of the 125 GeV Resonance as a Pseudoscalar Quarkonium Meson»
J. W. Moffat
Perimeter Institute for Theoretical Physics, Waterloo, Ontario N2L 2Y5, Canada and Department of Physics and Astronomy, University of Waterloo, Waterloo, Ontario N2L 3G1, Canada December 3, 2012

Abstract
"The 125 GeV resonance discovered at the LHC could be a heavy quarkonium, spin 0 pseudoscalar meson. The decay rates of the meson resonance are calculated and compared to the standard model Higgs boson decay rates..."

"Резонанс с энергией 125 Гэв, открытый на БАКе, может быть тяжёлым кваркониевым псевдоскалярным мезоном со спином 0. Выполнен расчёт скоростей распада мезонного резонанса и произведено их сравнение со скоростями распада бозона Хиггса стандартной модели..."

В статье показано, что вероятность двухфотонного распада этого мезонного резонанса именно та, что была обнаруженна на БАКе, и отличается от вероятности распада бозона Хиггса стандартной модели примерно в 1,5 - 2 раза. Расчётные вероятности распадов по другим каналам тоже не противоречат результатам экспериментов на БАКе.

Позже на сайте arxiv.org появилась переработанная статья Д. Моффата по поводу открытия бозона Хиггса:

http://arxiv.org/abs/1211.2746

Независимый взгляд на это открытие особенно интересен, поскольку ходили слухи, что в самом ЦЕРНе любые сомнения насчет того, что открыт именно «Хиггс» жестко пресекались под угрозой увольнения. Потому как БАК – это не только большая наука, но огромные прибыли десятков, если не сотен компаний-участниц проекта. И этим компаниям обязательно нужно было добиться продолжения работ. Да и никому из участников проекта не хочется терять интересную и выгодную работу.
Увы, здесь интересы большого бизнеса и большой науки так тесно переплетаются, что не поймешь, где заканчивается одно и начинается другое.

Прошу не судить строго – я в этой области не специалист. Просто хотел обратить внимание уважаемых форумчан, что имеются и отличающиеся от официального, взгляды на открытие «Хиггса». И если они окажутся верными, идеи VladTK и VladimirKalitvianski заиграют новыми яркими красками.

Munin · 30/01/06 72407

abelor в сообщении #769780 писал(а):

ходили слухи, что в самом ЦЕРНе любые сомнения насчет того, что открыт именно «Хиггс» жестко пресекались под угрозой увольнения

Конспирологи такие конспирологи...

Есть очень простое объяснение, почему это не может быть так. Даже $t$ -кварк, который в десятки раз легче хиггса, не адронизируется, то есть, просто не успевает образовать никаких кваркониев. И ещё, кварконии никогда не бывают одни, они образуют спектр, а тут один максимум.

Если этот тот самый Moffat, который предложил MOG, то диагноз "шизик на почве борьбы со всей нормальной наукой" подтверждён. Ни один уважающий себя учёный, даже придумавший альтернативную теорию гравитации, не станет бросаться как Моська лаять на открытие в совсем другой области.

abelor в сообщении #769780 писал(а):

Прошу не судить строго – я в этой области не специалист.

Если б вы вели себя как неспециалист, вы бы помалкивали насчёт "интересы большого бизнеса и большой науки тесно переплетаются" и "угроз увольнения", и тому подобного бреда. Но нет - вы решили повякать, а потом ещё и попросить "не судить строго". С чего это к вам надо относиться со снисхождением, пока вы поливаете дерьмом тысячи человек, добросовестно трудящихся на благо всего человечества?

VladimirKalitvianski · 21/08/11 1133 Grenoble

(Оффтоп)