Энергетический спектр кван. гармон. осциллятора

[TelmanStud]

Доброго вечера!
Хотелось бы узнать, может кто знает как можно численно найти собственные значения $E_n=\hbar\omega(n+\frac{1}{2})$
квантового гармонического осциллятора:
$-\cfrac{\hbar ^2}{2m}\cfrac{\partial^2 }{\partial x^2}\psi(x)+\cfrac{m\omega^2 x^2}{2}\psi(x)=E\psi(x)$
Как тут вообще с граничными условиями? Может кто ссылку посоветует. Заранее спасибо.

[ewert]

TelmanStud в сообщении #769546 писал(а):

Как тут вообще с граничными условиями?

А никак -- тут не в граничных условиях дело (их в явном виде нет), а просто в суммируемости по всей оси решений при той или иной энергии.

Конечно, для угадывания нужны какие-то эвристические соображения, и они имеются: просто было бы странно, если б решения не уходили в ноль на обеих бесконечностях одновременно. Но, строго говоря, это ничего не доказывает; и для доказательства того, что ни одна иная точка не принадлежит спектру -- придётся маленько попыхтеть уже сугубо математически. В частности, доказать, что спектр в данном случае воистину дискретен. Ну надо, чего уж тут поделать.

[TelmanStud]

ewert
Спасибо, но ясности не появилось(

[ИСН]

Не, ну как. Задача это известная. Решения её известны. Значит, и Вы их знаете. А что тогда непонятно? Почему при других (нехороших) энергиях не получается решений? Они получаются, но... плохие.

[TelmanStud]

ИСН в сообщении #769560 писал(а):

Не, ну как. Задача это известная. Решения её известны. Значит, и Вы их знаете. А что тогда непонятно? Почему при других (нехороших) энергиях не получается решений? Они получаются, но... плохие.

Так мне нужно численно добраться до этого спектра.
А на самом деле меня интересует узнать как решить задачу Штурма -Лиувилля
$L[\psi]=\lambda\psi$
с краевыми условиями на бесконечности $\psi(-\infty)=\psi(+\infty)=0$

[mihiv]

Можно ориентироваться на число нулей функции $\psi $, функция, соответствующая $E_n$, имеет $n$ нулей (осцилляционная теорема).

[TelmanStud]

mihiv в сообщении #769596 писал(а):

Можно ориентироваться на число нулей функции $\psi $, функция, соответствующая $E_n$, имеет $n$ нулей (осцилляционная теорема).

Спасибо

[ewert]

TelmanStud в сообщении #769591 писал(а):

А на самом деле меня интересует узнать как решить задачу Штурма -Лиувилля
$L[\psi]=\lambda\psi$
с краевыми условиями на бесконечности $\psi(-\infty)=\psi(+\infty)=0$

Там на самом деле нет таких граничных условий. Там на самом деле условия совсем другие: конечен интеграл по всей оси от хоть одного решения -- али нет?...

Но и даже такая постановка вопроса -- не окончательно разумна.

Тут есть два уровня строгости -- математический и физический.

На физическом уровне поступают тупо. Если есть решение, которое хорошо эдак убывает на обеих бесконечностях - то это всё, это точка дискретного спектра (и это, кстати, даже и математически правильно после соотв. заклинаний). Если таковых нет, но существуют решения пусть и не убывающие, но хотя бы не растущие на бесконечностях -- значит, это точка непрерывного спектра. И в подавляющем большинстве случаев эта стратегия срабатывает.

Математики же поступают иначе. Они сперва тупо формулируют формальное определение того, что есть спектр, и что есть спектр точечный и непрерывный, а потом не менее тупо доказывают теорему: если потенциал возрастает на бесконечности, то спектр -- чисто дискретен. После чего выловить эти исключительные точки спектра -- уже лишь формальность.

[ИСН]

ewert в сообщении #769792 писал(а):

если потенциал возрастает на бесконечности

до бесконечности

[ewert]

(Оффтоп)

ИСН в сообщении #769803 писал(а):

до бесконечности

подразумевается

[TelmanStud]

ewert в сообщении #769792 писал(а):

. После чего выловить эти исключительные точки спектра -- уже лишь формальность.

Вот эта формальность меня и интересует как численно их выловить

[ewert]

TelmanStud в сообщении #769887 писал(а):

как численно их выловить

Так вы их уже и выловили, и даже не численно, а вполне аналитически:

TelmanStud в сообщении #769546 писал(а):

$E_n=\hbar\omega(n+\frac{1}{2})$

Почему уровни именно такие -- посмотрите в любом учебнике по квантовой механике. Например, потому, что если сделать в уравнении $-y''+x^2y=Ey$ подстановку $y(x)=u(x)e^{-\frac{x^2}2}$, то получается уравнение $u''-2xu+2nu=0$, где $2n=E-1$. При $n=0,1,2,\ldots$ решениями (частными) этого уравнения являются многочлены Эрмита, а дальше можно по-разному. Можно сказать, что поскольку эти многочлены образуют полную ортогональную (с весом $e^{-x^2}$) систему, то никаких других точек спектра не может быть в принципе. А можно сослаться на то, что эти решения осциллируют ровно так, как положено последовательности собственных функций, и тогда других точек тоже нет (но тогда к этому моменту нужно уже знать, что спектр чисто дискретен).