Совместное распределение

[--mS--]

Joe Black в сообщении #769692 писал(а):

Извините, неверно.
вероятность первого события $P(U<u,V<v)= 2v-u$, вероятность второго $P(U>u,V<v)=(v-u)^2$

Второе верно, первое - нет. Ещё раз: чтобы найти первую вероятность, выразите её через вторую.

[Joe Black]

$P(U<u,V<v)=u(2v-u)$ нашёл через чертёж
Единственный вариант это: $P(V<v)=P(U<u,V<v)+P(U>u,V<v)$ следовательно
$P(U<u,V<v)=P(V<v)-P(U>u,V<v)$

[--mS--]

Другое дело. Хоть так, хоть так.

[Joe Black]

А зачем рассматривать два события: $(U<u,V<v)$ и $(U>u,V<v)$

[--mS--]

Joe Black в сообщении #769787 писал(а):

А зачем рассматривать два события: $(U<u,V<v)$ и $(U>u,V<v)$

Не понимаю вопрос.

Joe Black в сообщении #769766 писал(а):

$P(U<u,V<v)=P(V<v)-P(U>u,V<v)$

Только знаки в событиях следует поправить. Не больше, а больше либо равно.

[Joe Black]

Ок, понял)

[brat2]

Joe Black в сообщении #769692 писал(а):

вероятность $P(U \geqslant u,V<v)=(v-u)^2$

простите, это насколько я понимаю верно именно для равномерного распределения?
а если в условии задачи указано просто "две одинаково распределенные независимые случайные величины с функцией распределения $F$ ", не подскажете как в этом случае можно найти
$P(U \geqslant u,V<v)$ ?

[--mS--]

Минимум из двух объектов больше $u$, максимум из них меньше $v$, если они оба лежат между $u$ и $v$. Вероятность события $\{u\leqslant X < v,\, u\leqslant Y < v\}$ для независимых величин есть произведение вероятностей. Каждая из которых находится через плотность, через таблицу или через функцию распределения.

[brat2]

понятно, спасибо большое!
ответ (совместная функция распределения максимума и минимума), насколько я понимаю, получается
$F_{U,V}(x,y)=P(U<x,V<y)=F^2(y) - (F(y)-F(x))^2$, да?

($F^2(x) это уже найденная одномерная функция распределения максимума)

[brat2]

--mS-- в сообщении #769576 писал(а):

$\{U < x, V<y\}$ и $\{U \geqslant x, V<y\}$ ($x<y$).

единственное, что осталось непонятным - как учесть в ответе случай $x\geqslant y$? ведь в этом случае $P(U \geqslant x, V<y)=0$
ещё нашёл в сети, что пределы при $x \rightarrow \infty$ и $y \rightarrow \infty$ совместной функции распределения будут распределениями компонент, и тут не сходится с
$F_{U,V}(x,y)=P(U<x,V<y)=F^2(y) - (F(y)-F(x))^2$ -
распределения компонент мы нашли будут $F_U(x)=2F(x)-F^2(x)$ и $F_V(x)=F^2(x)$, а один из пределов другой..

[Otta]

Как раз потому, что не учли случай $x\ge y$.

brat2 в сообщении #805510 писал(а):

ведь в этом случае $P(U \geqslant x, V<y)=0$

Да, нулевая. И что же Вы это никак не учитываете?

[brat2]

не подскажете, как это можно учесть? ведь эта формула
$P(V<y)=P(U<x,V<y)+P(U \geqslant x,V<y)$
остается верной и при $x \geqslant y$, просто $P(U \geqslant x,V<y)$ будет нулём, или я неправильно понял?

или можно просто вероятность
$P(U<x,V<y)$ разделить вероятность двух случаев - когда $x \geqslant y$ и когда $x < y$ и сложить как вероятности непересекающихся?

[Otta]

brat2 в сообщении #805532 писал(а):

$P(V<y)=P(U<x,V<y)+P(U \geqslant x,V<y)$
остается верной и при $x \geqslant y$, просто $P(U \geqslant x,V<y)$ будет нулём, или я неправильно понял?

Правильно поняли.

[brat2]

brat2 в сообщении #805532 писал(а):

или можно просто вероятность
$P(U<x,V<y)$ разделить вероятность двух случаев - когда $x \geqslant y$ и когда $x < y$ и сложить как вероятности непересекающихся?

а это тоже правильно? что-то у меня не получается никак..

[Otta]

brat2 в сообщении #805532 писал(а):

или можно просто вероятность
$P(U<x,V<y)$ разделить вероятность двух случаев - когда $x \geqslant y$ и когда $x < y$ и сложить как вероятности непересекающихся?

На момент вычисления вероятности $x$ и $y$ фиксированы, это значения аргументов функции, и Вы менять их не можете.