Модель мира КМ

[quantum newbie]

Добрый день, уважаемое научное сообщество.

Помогите мне разобраться с тезисом, необходимость которого мною никогда не оспаривался.
Состояние системы — это точка на сфере гильбертова пространства. Ну или луч в этом пр-ве.
В любом случае, мы делаем акцент на том, что моделью является гильбертово пространство, то есть линейное пространство вместо со скалярным произведением.
Почему так важно нам скалярное прозведение?

Предположим, мы работаем только с линейным (или банаховым, чтоб нормировать можно было) пространством. Что мы теряем? В первую очередь мы теряем возможность проецировать состояние на выделенное направление. Получается, что кет и бра векторы неравноправны, нет возможности менять местами "обкладки" матричных элементов, с крестом над операторами появятся некоторые проблемы.
Что принципиально плохого здесь: что-то очень плохое есть в описанных проблемах или есть ещё какие-то проблемы, которые я не описал?

Вопрос возник потому, что скалярным произведением мы, вроде бы, пользуемся только когда выделяем какой-то базис, а во всём остальном: УШ, собств. значения и состояния операторов — достаточно линейности.

[мат-ламер]

quantum newbie в сообщении #769424 писал(а):

Почему так важно нам скалярное прозведение?

Наблюдаемые трактуются как самосопряжённые операторы в гильбертовом пространстве. Их значения действительны.

[Munin]

quantum newbie в сообщении #769424 писал(а):

В первую очередь мы теряем возможность проецировать состояние на выделенное направление.

А наблюдение есть проекция.

[migmit]

Мы теряем сигма-алгебру замкнутых подпространств.

В статистической физике наблюдаемая — это мера на $\mathbb{R}$ со значениями в сигма-алгебре измеримых подмножеств вероятностного пространства (т.е., измеримая функция). В КМ — мера со значениями в сигма-алгебре замкнутых подпространств (т.е., проекторнозначная мера, т.е., самосопряжённый оператор). В банаховом пространстве мы потеряем столь необходимую нам ортогональность.

[VladimirKalitvianski]

quantum newbie в сообщении #769424 писал(а):

Почему так важно нам скалярное прозведение?

Оно важно в силу фундаментальности принципа суперпозиции. Образуя скалярное произведение, мы получаем амплитуду нахождения системы в состоянии $|\varphi\rangle$, если система находится в состоянии $|\Psi\rangle$.

[Bobinwl]

Т.е. скалярное произведение нам нужно, чтобы уйти от ненаблюдаемого мнимого числа комплексной волновой функции к некоторому действительному числу, которое как раз можно наблюдать (или измерить - например, вероятность нахождения в некотором состоянии $|\varphi\rangle$).
VladimirKalitvianski, а при чем здесь суперпозиция состояний, описываемых комплексными числами?

[quantum newbie]

Вот сейчас я, может быть, совсем начну ересь говорить.

мат-ламер в сообщении #769438 писал(а):

Наблюдаемые трактуются как самосопряжённые операторы в гильбертовом пространстве. Их значения действительны.

Насколько мне известно, доказуемо, что собств. значения самосопряженных операторов действительны.
Я рассматриваю все операторы над линейным комплексным пространством. В общем случае оператор имеет комплексный спектр. Но есть и те, которые имеют чисто действительный спектр. Давайте их назовём операторами наблюдаемых величин! Почему так нельзя?

Я правильно понял, что VladimirKalitvianski и Munin говорят об одном и том же?

Bobinwl в сообщении #769650 писал(а):

Т.е. скалярное произведение нам нужно, чтобы уйти от ненаблюдаемого мнимого числа комплексной волновой функции к некоторому действительному числу, которое как раз можно наблюдать (или измерить - например, вероятность нахождения в некотором состоянии $|\varphi\rangle$).

Скалярного произведения мало: $\langle\varphi|\psi\rangle$ вполне может быть комплексным и в нынешнем формализме, всё равно по модулю берём.
Если отбросить ск. произведение, то $\langle\varphi|$ будет входить в двойственное пространство, то есть каждое состояние $|\psi\rangle$ будет проецироваться на элемент не того же пространства, что и оно само, а двойственного.

(Оффтоп)

Я уже молчу о том, что понятие наблюдаемой величины вообще неформально и сомнительно. Не забываем, что и с чисто вещественными значениями мы не работаем, ограничиваясь в опыте всегда некими рациональными, а $\mathbb{R}$ — лишь удобный формализм. Ведь и комплексные числа не сразу признали как вообще что-то применимое к повседневной физике. С чего такая уверенность, что следует обязательно себя привязывать к $\mathbb{R}$? Потому что все приборы у нас стрелочные, а не комплекснозначные? Разве человеческие ограничения на приборы не должно быть перпендикулярным фундаментальным законам физики?

Ответ migmit я ещё не понял. Он очень умно написал, что требует некоторых размышлений.

[Munin]

Bobinwl в сообщении #769650 писал(а):

Т.е. скалярное произведение нам нужно, чтобы уйти от ненаблюдаемого мнимого числа комплексной волновой функции к некоторому действительному числу, которое как раз можно наблюдать (или измерить - например, вероятность нахождения в некотором состоянии $|\varphi\rangle$).

Вспомнил, ещё для одного. Оператор эволюции унитарен - то есть, сохраняет скалярное произведение. Если мы рассмотрим сферу нормированных векторов состояния, то поток, задаваемый эволюцией квантового состояния, сохраняется (дивергенция равна нулю).

Bobinwl в сообщении #769650 писал(а):

VladimirKalitvianski, а при чем здесь суперпозиция состояний, описываемых комплексными числами?

Ни при чём, это скорей всего оговорка.

quantum newbie в сообщении #769665 писал(а):

Я правильно понял, что VladimirKalitvianski и Munin говорят об одном и том же?

Да, в принципе.

quantum newbie в сообщении #769665 писал(а):

Ответ migmit я ещё не понял. Он очень умно написал, что требует некоторых размышлений.

По-моему, он то же самое написал :-)

quantum newbie в сообщении #769665 писал(а):

Скалярного произведения мало: $\langle\varphi|\psi\rangle$ вполне может быть комплексным и в нынешнем формализме, всё равно по модулю берём.

Ну, на самом деле, мы берём $\left|\langle\varphi|\psi\rangle\right|^2=\langle\varphi|\psi\rangle^*\langle\varphi|\psi\rangle=\langle\psi|\varphi\rangle\langle\varphi|\psi\rangle,$ а "разворачивать скобочки" мы можем только при наличии гильбертовой структуры. То есть, запрет на "разворачивание скобочек" означает и запрет на "взятие по модулю".

[migmit]

Munin в сообщении #769694 писал(а):

quantum newbie в сообщении #769665 писал(а):

Ответ migmit я ещё не понял. Он очень умно написал, что требует некоторых размышлений.

По-моему, он то же самое написал

Ну, я не настоящий сварщик, я просто более-менее воспроизводил то, что видел в замечаниях к параграфу VIII.11 Рида-Саймона.

[Munin]

migmit в сообщении #769840 писал(а):

Ну, я не настоящий сварщик, я просто более-менее воспроизводил то, что видел в замечаниях к параграфу VIII.11 Рида-Саймона.

Спасибо за ссылку. Как я понял, речь идёт о 1 томе Рида-Саймона "Методы современной математической физики. 1. Функциональный анализ", "Замечания" после главы VIII, параграф замечаний § VIII.11, стр. 338-342.

Там, в частности, написано (стр. 339 низ):

Цитата:

Итак, предложенное Макки описание классической статистической механики приводит к абстрактному понятию статистической системы как решетки с ортодополнением. <...>

В первой из указанных работ Макки имеется описание набора разумных аксиом для понятия «измерения» в статистической системе, которое приводит к решеткам с ортодополнением. Чтобы получить квантовую механику, к основной схеме необходимо добавить следующий специальный постулат: $\mathfrak{L}$ является семейством $\mathfrak{L}_\mathscr{H}$ замкнутых подпространств сепарабельного гильбертова пространства $\mathscr{H}$ с операциями: $A\leqslant B$ тогда и только тогда, когда $A\subseteq B;$ $A'=A^\perp$ и $\bigvee\limits_{n=1}^{\infty}A_n=\sum\limits_{n=1}^{\infty}A_n;$ $1=\mathscr{H};$ $0=\{0\}.$ Таким образом, возникает задача обосновать этот постулат. Важный шаг в этом направлении совершил Пирон (C. Piron, Axiomatique Quantique, Helv. Phys. Acta, 37 (1964), 439—468). См. также обсуждение этой проблемы в упоминаемой ниже монографии Яуха.

После того как такой специальный постулат принят, состояния и наблюдаемые можно построить в более явной форме.

Ссылки выглядят так (это всего две из десятков ссылок к этому параграфу):

Цитата:

Подход Дж. Макки (Лекции по математическим основам квантовой механики, «Мир», М., 1965, и G. Mackey, Induced Representations of Groups and Quantum Mechanics, Benjamin, New York, 1968)

Цитата:

J. Jauch, Foundations of Quantum Mechanics, Addison-Wesley, Reading, Massachusetts, 1968;

Я вижу здесь, в принципе, то же самое: статистическая система становится квантовой статистической системой, а пространство, одновременно, - оснащённым скалярным произведением, путём введения одного постулата, требуемого для описания квантовых измерений.

[migmit]

Угу, я об этом.

Munin в сообщении #769973 писал(а):

Я вижу здесь, в принципе, то же самое:

То же самое по сравнению с чем?

Munin в сообщении #769973 писал(а):

статистическая система становится квантовой статистической системой, а пространство, одновременно, - оснащённым скалярным произведением, путём введения одного постулата, требуемого для описания квантовых измерений.

Э... собственно, постулат уже содержит в себе наличие скалярного произведения. Но да, одного постулата хватает, правда, про измерения там явно не сказано. А если заменить в нём гильбертово пространство на банахово, то общая схема рассыпается.