нули функции.

[dikiy]

есть функция $x(t)=P(t)-e^t$, где $P(t)$ полином некоторой степени (может быть большой). как показать, что для всех $t>0$ $x(t)\leq 0$?

я думал взять производную и пройтись по экстремумам. Но тут возникает вопрос о писке нуля функции $\dot x(t)=\dot P(t)-e^t$. Непонятно как найти все нули, и кроме всего прочего непонятно, сколько вообще нулей имеет данная функция.

[Oleg Zubelevich]

dikiy в сообщении #768603 писал(а):

есть функция $x(t)=P(t)-e^t$, где $P(t)$ полином некоторой степени (может быть большой). как показать, что для всех $t>0$ $x(t)\leq 0$?

хороший вопрос , особенно для математического раздела форума

[ewert]

dikiy в сообщении #768603 писал(а):

как показать, что для всех $t>0$ $x(t)\leq 0$?

Никак. С чего вдруг?

(Оффтоп)

dikiy в сообщении #768603 писал(а):

возникает вопрос о писке нуле функции

А вот это хорошо сказано.

dikiy в сообщении #768603 писал(а):

и кроме всего прочего непонятно, сколько вообще нулей имеет данная функция.

По теореме Ролля есть очевидная оценка для количества нулей сверху.

[dikiy]

ewert в сообщении #768605 писал(а):

dikiy в сообщении #768603 писал(а):

как показать, что для всех $t>0$ $x(t)\leq 0$?

Никак. С чего вдруг?

ну, скажем что полином $P(t)$ задан заранее.

Цитата:

(Оффтоп)

dikiy в сообщении #768603 писал(а):

возникает вопрос о писке нуле функции

А вот это хорошо сказано.

dikiy в сообщении #768603 писал(а):

и кроме всего прочего непонятно, сколько вообще нулей имеет данная функция.

По теореме Ролля есть очевидная оценка для количества нулей сверху.

Так. допустим мы оценили количество нулей сверзу. Но в действительности может быть и меньше. Как тогда убедиться, что все найденные - действительно _все_?

-- 28.09.2013, 12:05 --

Oleg Zubelevich в сообщении #768604 писал(а):

dikiy в сообщении #768603 писал(а):

есть функция $x(t)=P(t)-e^t$, где $P(t)$ полином некоторой степени (может быть большой). как показать, что для всех $t>0$ $x(t)\leq 0$?

хороший вопрос , особенно для математического раздела форума

ну. мне кажется, что вопрос не совсем тривиальный.

[ewert]

dikiy в сообщении #768607 писал(а):

что вопрос не совсем тривиальный.

Он нетривиален лишь в том смысле, что тривиально не поставлен.

dikiy в сообщении #768607 писал(а):

Как тогда убедиться, что все найденные - действительно _все_?

Скорее всего, вообще говоря -- никак. Ну т.е. для многочлена первой степени задача (о количестве корней и даже об их локализации) решается вполне явно, но уже для второй степени -- как минимум какое-нибудь занудство.

dikiy в сообщении #768607 писал(а):

ну, скажем что полином $P(t)$ задан заранее.

Ну так и скажите. Т.е. задайте. А так -- о чём вообще разговор-то?...

[Евгений Машеров]

(Оффтоп)

Писк нуля - это правильно. Пищит, испугано...

Пусть $P(t)=2e$. При t=1 $x(t)=e$
Может, нужно доказать, что существует T такое, что длявсех $t>T$ выполняется $x(t)<0$

[Joker_vD]

Евгений Машеров
Что оно есть, это понятно — $\lim\limits_{t\to+\infty}\frac{P(t)}{e^t}=0$ для любого многочлена $P(t)$; гораздо интереснее (и сложнее, я так чую) попытаться найти какие-то оценки на $T$ сверху-снизу в терминах коэффициентов и степени многочлена.

[Евгений Машеров]

Нну... При T=0 утверждение, вообще говоря, неверно.
Если же ставится задача показать, что существует такое T, для всех t, больших T $x(t)<0$, то это вполне может быть учебной задачей, хоть и несложной.
А оценка... Пусть степень многочлена n, максимальный положительный коэффициент A, тогда (при $t>1$) $Q(t)=(n+1)At^n>P(t)$
$e^t=(n+1)At^n$
$t-n\ln t=\ln A+\ln(n+1)$
Аналитического решения не знаю, численно решается быстро. Если в ответе $t<1$, то осторожная оценка $T=1$, иначе T равно решению уравнения.

[dikiy]

тут есть идея (не моя):

$$x(t)>0\Leftrightarrow P(t)<e^t \Leftrightarrow y(t):=P(t)e^{-t}<1$$

теперь найдем все экстремумы функции $y(t)$ просто взяв производную и приравняв к нулю. Получим уравнение

$$\dot P(t) -P(t) = 0$$

а это обычный полином и имеется теоретическая возможность найти _все_ корни. а теперь можно просто по экстремумам пройтись и посмотреть, выполняется ли условие $y(t)<1$.